Home/ Intrebari/Q 92606
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

Alex Stoica
user (0)
Pe: 2018-03-31T14:50:05+03:00 In: In:

UTCN 311-312

„https://ibb.co/dj7cjn”>https://ibb.co/dj7cj

Cine ma poate ajuta la exercitiile 311 si 312?

Similare

2 raspunsuri

  1. Felixx
    veteran (III)

    312. Privind putin la problema urmatoare(313.) ne vine ideea sa gasim o functie g:(-1,1)→(0,+oo) care sa fie izomorfism de la grupul \left ( \left ( -1,1 \right ),\ast \right )la grupul \left ( \left ( 0,+\infty \right ),\cdot \right )
    Fie g\left ( x \right )=\frac{1-x}{1+x}
    {g}'\left ( x \right )=-\frac{2}{\left ( 1+x \right )^{2}}< 0,rezulta ca g este strict descrescatoare,rezulta ca g este strict monotona pe (-1,1),rezulta ca g este injectiva.
    Aratam usor ca imaginea functiei este egala cu codomeniul,deci functia g este surjectiva.Din g injectiva si surjectiva rezulta ca g este bijectiva
    si cum g\left ( x\ast y \right )=\frac{1-x\ast y}{1+x\ast y}=...=\frac{1-x}{1+x}\cdot \frac{1-y}{1+y}=g\left ( x \right )\cdot g\left ( y \right )
    rezulta ca g este morfism.Din g morfism si g bijectiva rezulta ca g este izomorfism de la grupul\left ( \left ( -1,1 \right ),\ast \right )la grupul
    \left ( \left ( 0,+\infty \right ),\cdot \right ).
    Din g\left ( x\ast y \right )=g\left ( x \right )\cdot g\left ( y \right )putem arata prin inductie ca :
    g\left ( x_{1}\ast x_{2}\ast ...\ast x_{n} \right )=g\left ( x_{1} \right )\cdot g\left ( x_{2} \right )\cdot ...g\left ( x_{n} \right )\forall n\in \mathbb{N},n\geq 2Atunci:g\left ( \frac{1}{2}\ast \frac{1}{3}\ast ...\frac{1}{100} \right )=g\left ( \frac{1}{2} \right )\cdot g\left ( \frac{1}{3} \right )\cdot ...\cdot g\left ( \frac{1}{100} \right )=\frac{1}{3}\cdot \frac{2}{4}\cdot \frac{3}{5}\cdot ...\cdot \frac{999}{1001}=\frac{2}{1001000}
    Din g bijectiva,rezulta ca este inversabila si aflam usor inversa ei :g^{-1}\left ( x \right )=\frac{1-x}{1+x},g^{-1}:\left ( 0,+infinit \right )\rightarrow \left ( -1,1 \right )
    Atunci: \frac{1}{2}\ast \frac{1}{3}\ast ...\ast \frac{1}{1000}=g^{-1}\left ( \frac{2}{1001000} \right )=\frac{1-\frac{2}{1001000}}{1+\frac{2}{1001000}}=\frac{1000998}{1001002}=\frac{500499}{500501} si raspunsul corect ar fi B)

    • 0
  2. ghioknt
    profesor

    Dacă f(x,y) este lege de compoziție pe (-1; 1), atunci f(x,-x)=\frac{(a-b)x}{1-x^2}\in (-1;1)\Rightarrow \lim_{x\to 1\\x<1}f(x,-x)\in [-1;1].
    Dar limita este infinită dacă a și b sunt diferite, deci în acest caz f nu este lege de compoziție pe (-1; 1). Rămâne de ales între A. și D.
    Pentru a=b=2, f(\frac{1}{2},\frac{1}{2})=\frac{2}{\frac{5}{4}}>1, deci rămâne D.

    • 0
Raspunde

Raspunde