Home/ Intrebari/Q 92572
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

Felixx
veteran (III)
Pe: 2018-03-02T19:26:48+02:00 In: In:

Legi de compozitie

Pe multimea numerelor rationale pozitive Q+ se defineste o operatie * care satisface pentru orice

    \[x,y,z,t\in \mathbb{Q}_{+}\]

urmatoarele egalitati:

    a) \[\left ( x\ast y \right )\cdot \left ( z\ast t \right )=\left ( xz \right )\ast \left ( yt \right )\]

    b) \[x\ast x=1\]

    c) \[x\ast 1=x\]

unde

    \[\cdot \]

este operatia de inmultire in

    \[\mathbb{Q}_{+}^{*}\]

.Sa se calculeze :

    \[\sum_{k=1}^{2017}\left ( \frac{1}{k}\ast \left ( k+1 \right ) \right )\]

***********************************************************************************************************************************
Am mai intalnit aceasta problema in care se cerea de pilda sa se calculeze

    \[12\ast 3\]

.
Luam x=y=3 , z=4, t=1 si tinand cont de conditiile a),b),c) obtinem usor

    \[12\ast 3=4\]

Se vede clar din conditii ca operatia

    \[\ast\]

este de fapt impartirea numerelor rationale.In acest caz expresia de sub suma este
\[\frac{1}{k}] si suma se calculeaza usor obtinand rezultatul

    \[\frac{2017}{2018}\]

Am incercat mai multe variante(dar fara succes) de a alege pe x,y,z,t in asa fel incat sa obtinem

    \[\frac{1}{k}\ast \left ( k+1 \right )=\frac{1}{k}\cdot \frac{1}{k+1}\]

Multumesc.

Similare

3 raspunsuri

  1. gigelmarga
    profesor

    Felixx post_id=110774 time=1520018808 user_id=21270 wrote:
    Pe multimea numerelor rationale pozitive Q+ se defineste o operatie * care satisface pentru orice

        \[x,y,z,t\in \mathbb{Q}_{+}\]

    urmatoarele egalitati:

        a) \[\left ( x\ast y \right )\cdot \left ( z\ast t \right )=\left ( xz \right )\ast \left ( yt \right )\]

        b) \[x\ast x=1\]

        c) \[x\ast 1=x\]

    unde

        \[\cdot \]

    este operatia de inmultire in

        \[\mathbb{Q}_{+}^{*}\]

    .Sa se calculeze :

    În a) facem y=x și t=1/x. Obținem (x\ast x)\cdot(z\ast \frac1x)=(xz)\ast 1=xz, deci, de fapt, z\ast \frac1x=xz. Înlocuind aici x cu 1/x deducem z\ast x=\frac zx.

    • 0
  2. Felixx
    veteran (III)

    Multumesc,domnule gigelmarga.

    • 0
  4. gigelmarga
    profesor

    Problema e rusească, din revista Matematika v Șkole.
    O altă problemă rusească simpatică, legată de legi de compoziție:

    Pe R definim legea „*” astfel ca (a*b)*c=a+b+c, pentru orice a,b,c reale. Demonstrați că a*b=a+b, pentru orice a,b.

    • 0
Raspunde

Raspunde