Home/ Intrebari/Q 92569
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

Bjarn3
user (0)
Pe: 2018-03-01T17:01:17+02:00 In: In:

matrici(iarasi si din nou)

1.Fie A,B \in M_n(\mathbb{C}) astfel incat : AB=BA, A^{2017}=I_n , B^{1998}=I_n.Sa se demonstreze ca matricea A+B+I_n este inversabila.
(Constantin Niculescu, GM nr. 2/1998)

2.Fie A,B,C \in M_2(\mathbb{R}) matrici care comuta doua cate doua ,iar \det(A),\det(B) ,\det(C) sunt nenule si NU au toate acelasi semn.Sa se demonstreze ca \det(A^2+B^2+C^2) >0
(Dumitru Busneag, nr.3/1998)
3.Fie A\in M_n(\mathbb{R}) o matrice nesingulara. Sa se arate ca \boxed{\det((A^*)^*)+[\det(A)]^{(n+1)^2}\geq[\det(A)]^{n^2+1},\forall n\in N^* }
((Viorel+Razvan) Tudoran ,nr 4/1999)
Sper sa nu fi scris ceva gresit.

Similare

3 raspunsuri

  1. PhantomR
    expert (VI)

    3. Mi se pare dubioasa problema. O sa presupun ca A^* e reciproca matricei A, adica A^*\cdot A = A \cdot A^* = (\det A) I. Pentru o matrice inversabila X avem \det X \det X^{*} = \det X \Rightarrow \det X^* = 1.

    Deoarece A^*=(\det A)A^{-1} e inversabila, avem \det(A^*)^* = 1.

    Notand x=\det A \neq 0, tb sa demonstram ca:
    1+x^{(n+1)^2}\geq x^{n^2+1}, x\neq 0.

    Pt n=1 e adevarat. Pt n=2 se scrie x^9-x^5+1\geq 0, \forall x \neq 0, FALS luand x->-infinit. Deci, ceva e gresit. Poate A* se referea la transpusa conjugata si nu la matricea recirpca? Sau e scrisa rau cerinta?

    • 0
  2. Bjarn3
    user (0)

    PhantomR post_id=110772 time=1520013013 user_id=15235 wrote:
    3. Mi se pare dubioasa problema. O sa presupun ca A^* e reciproca matricei A, adica A^*\cdot A = A \cdot A^* = (\det A) I. Pentru o matrice inversabila X avem \det X \det X^{*} = \det X \Rightarrow \det X^* = 1.

    Deoarece A^*=(\det A)A^{-1} e inversabila, avem \det(A^*)^* = 1.

    Notand x=\det A \neq 0, tb sa demonstram ca:
    1+x^{(n+1)^2}\geq x^{n^2+1}, x\neq 0.

    Pt n=1 e adevarat. Pt n=2 se scrie x^9-x^5+1\geq 0, \forall x \neq 0, FALS luand x->-infinit. Deci, ceva e gresit. Poate A* se referea la transpusa conjugata si nu la matricea recirpca? Sau e scrisa rau cerinta?


    Problema e luat-o dinr-o gazeta mai veche ,iar scrisul era putin mai sters si s-ar putea sa fi inteles gresit. Faceti abstractie de ea. Aveti vreo idee la 1 si la 2?
    P.S. A* se numeste adjuncta matricei a,nu reciproca si nici transpusa conjugata( uimitor e faptul ca ati scris relatia corect 🙂 )

    • 0
  4. PhantomR
    expert (VI)

    Nu, nu stiu la 1 si 2, atlfel as fi postat 😀.

    Legat de matricea A^*, stiu ca ii spune de obicei adjuncta si stiind asta, am numit-o voit ‘reciproca’ pentru ca mi se pare ca am intalnit candva termenul de ‘adjuncta’ folosit pentru ‘transpusa conjugata’ (in plus, in engleza prin ‘adjoint’ se intelege exact acea transpusa conjugata). Denumirea de matrice reciproca, daca imi amintesc bine, am auzit-o de la profesorul meu de algebra de la facultate 😀, iar el se poate sa o fi folosit pentru ca utiliza si cealalta ‘adjuncta’ de care v-am vorbit.

    • 0
Raspunde

Raspunde