Home/ Intrebari/Q 92565
Urmator
In Process
Bjarn3
user (0)
Pe: 2018-02-27T17:34:43+02:00 In: In:

Matrici

1. Fie A,B \in M_n (\mathbb{R}) astfel incat A^2+B^2=(2-\sqrt3)(AB-BA) .Sa se arate ca daca de.t (A^2+B^2)\neq 0 atunci n este divizibil cu 12.

2.Fie A si B doua matrici de ordin cu numere reale ,care satisfac relatia AB=A+B .
a)Sa se arate ca de.t (A^2+B^2)\geq 0 .
b)Sa se arate ca rang(A+B)=n daca si numai daca cel putin una dintre matricile A sau B are rangul n.

3.Fie C\in M_n(\mathbb{R}),unde n este un numar impar.Sa se arate ca de.t (C-C^t)=0
Please oricare din ele.

Similare

7 raspunsuri

  1. expert (VI)

    La 2, avem AB-A-B=0. Membrul stang trimite cu gandul la (A-I)(B-I): (A-I)(B-I)-I=0 \Leftrightarrow (A-I)(B-I)=I. Deci matricele A-I,B-I sunt inversabile si una e inversa celeilalte. Atunci, e adevarat si (B-I)(A-I)=I \Leftrightarrow BA=A+B. Deci AB=BA si atunci rezultatul a) e unul pe care eu cel putin l-am vazut foarte des: se demonstreaza scriind A^2+B^2=(A+iB)(A-iB)=(A+iB)\overline(A+iB) si faptul ca \det(\overline{X})=\overline{\det X}. La b), trecand la determinanti in relatia din ipoteza obtinem \det(A+B)=\det A\cdot \det B. Cum pentru X\in M_n(\mathbb{C}) avem \rang X = n \Leftrightarrow \det X = 0, urmeaza concluzia.

    • 0
  2. expert (VI)

    La 3: \det(C-C^t)= \det [ (C-C^t)^t] = \det (C^t-C)=\det ( - (C-C^t) ) = (-1)^n \det (C-C^t) = -\det(C-C^t). Deci \det(C-C^t) = - \det(C-C^t) 🙂.

    • 0
  4. expert (VI)

    La 1, luand determinanti obtinem \det(AB-BA)\neq 0.

    Apoi, folosind relatia (A-iB)(A+iB)=A^2+i(AB-BA)+B^2, adunam cantitatea i(AB-BA) la relatia din ipoteza spre a obtine: |\det(A+iB)|^2 = (2-\sqrt 3 + i)^n \det(AB-BA). Avand in vedere ca \det(AB-BA)\neq 0, rezulta ca trebuie ca (2-\sqrt 3 + i )^n\in\mathbb{R}.

    [Recunosc ca am folosit Wolfram Alpha ca sa calculez (2-\sqrt 3 + i)^{12} ca sa ma asigur ca sunt pe drumul cel bun (ca este intr-adevar real).]

    Sa observam ca \rm{arg} (2-\sqrt 3 + i ) = \rm{arctg} \frac{1}{2-\sqrt 3} = \rm{arctg} (2+\sqrt 3). Mai departe.. incercam sa calculam \cos \frac{\pi}{12}, sperand sa dam de o forma mai eleganta pentru agument.

    Avem \cos \frac{\pi}{12} = \cos (\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{4})=\frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt2}{2} - \frac{\sqrt 3}{2}\frac{\sqrt 2}{2}=\frac{\sqrt 2}{2} (1+\sqrt 3). Obtinem din asta ca \sin \frac{\pi}{12}= \frac{\sqrt 2}{2}(\sqrt 3-1). De aici, \rm{tg} \frac{\pi}{12} = \frac{\sqrt 3 -1}{\sqrt 3 + 1} = \frac{4-2\sqrt 3}{2} = 2-\sqrt 3, deci \rm{ctg}\frac{\pi}{12} = \frac{1}{2-\sqrt 3}. Dar, stim ca \rm{ctg}x = \rm{tg} (\frac{\pi}{2} - x), deci \frac{1}{2-\sqrt 3} = \rm{tg} ( \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{12} ) = \rm{tg} \frac{5\pi}{12}. Atunci \rm{arg} ( 2-\sqrt 3 + i ) = \frac{5\pi}{12}. Rezulta ca: (2-\sqrt 3 + i)^n = r^n (\cos \frac{5\pi}{12} + i \sin \frac{5\pi}{12})^n, r\geq 0. Acest numar e real doar daca \sin \frac{5n\pi}{12}=0 \Leftrightarrow \frac{5n\pi}{12}=k \pi \Leftrightarrow \frac{5n}{12} \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow n | 12.

    • 0
  5. user (0)

    PhantomR post_id=110733 time=1519764613 user_id=15235 wrote:
    La b), trecand la determinanti in relatia din ipoteza obtinem \det(A+B)=\det A\cdot \det B.


    Nu pricep de unde v-a dat relatia asta .

    • 0
  6. expert (VI)

    Avem A+B=AB, deci \det(A+B)=\det(AB)=\det(A)\cdot \det(B).

    • 0
  8. user (0)

    Ok,multumesc mult!Mai urmeaza un set.

    • 0
  9. expert (VI)

    Cu drag. La solutia de la prima problema, chiar la sfarsit, am scris gresit ca n|12. Corect era 12|n sau n \vdots 12.

    • 0
Raspunde

Raspunde