1)Sa se descompuna in factori ireductibili polinoamele:
a)
M-ar ajuta foarte mult daca as sti ce valoare i-as putea da lui x.. Si e pe Q nu pe C.
2) Sa se determine polinoamele de grad 4 in Z2[X].
Aici ar trebuie sa pun f(1)=0 si f(O)= 0 dar mi-ar mai trebui cateva relatii, deoarece sunt 5 necunoscute..
ppuser (0)
La 1, mi-e cam neclara cerinta.. e cumva vorba de functii polinomiale? Daca da, pe
e adevarata relatia
, deci si
si atunci functiile polinomiale au cel mult gradul
, deci singurele posibile sunt
.
La 2,
.
Ultimele doua polinoame sunt ireductibile in
(chiar
).
Pentru primul polinom, deoarece el nu are radacini reale (pentru ca notand
obtinem o ecuatie fara radacini reale), nu poate avea factori ireductibili de gradul
peste
(deci nici peste
). Inseamna ca singura descompunere posibila e ca un produs de polinoame de gradul doi:
. Avem
. Deducem relatiile:
(din prima relatie)
si
(din ultima)
(a treia)
(a doua)
Inlocuind primele doua relatii in a treia obtinem
. Deducem
sau
sau
.
Daca
, din ultima relatie avem
, imposibil pentru
real.
, ultima relatie devine
, imposibil pentru
rational.
, ultima relatie devine
, imposibil pentru
real.
Daca
Daca
Asadar, polinomul este ireductibil, deci descompunerea ceruta e cea de la inceput.
Ai gresit putin la calcule si ai tras concluzia gresita la final. Daca b=1 atunci ajungi la relatia
.
Insa trebuie avut in vedere altceva. Daca un polinom cu coeficienti reali admite o radacina complexa nereala, atunci automat admite si conjugata sa. De aici rezulta imediat un polinom de grad 2 cu coeficienti reali. Cu alte cuvinte, un polinom de grad n cu coeficienti reali se descompune tot timpul in produs de polinoame de grad 1 sau 2 cu coeficienti reali. Daca am forta coeficientii determinanti sa fie 1 tot timpul, atunci descompunerea este unica.
. Avem 
Bonus, daca tot ai folosit artificiul cu diferenta de patrate, ai fi putut sa-l folosesti si la