Home/ Intrebari/Q 92564
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

pp
Pe: 2018-02-26T15:03:55+02:00 In: In:

Polinoame.

1)Sa se descompuna in factori ireductibili polinoamele:
a) x^8+x^4+1
M-ar ajuta foarte mult daca as sti ce valoare i-as putea da lui x.. Si e pe Q nu pe C.
2) Sa se determine polinoamele de grad 4 in Z2[X].
Aici ar trebuie sa pun f(1)=0 si f(O)= 0 dar mi-ar mai trebui cateva relatii, deoarece sunt 5 necunoscute..

Similare

2 raspunsuri

  1. PhantomR
    expert (VI)

    La 1, mi-e cam neclara cerinta.. e cumva vorba de functii polinomiale? Daca da, pe \mathbb{Z}_2 e adevarata relatia x^2=x,\forall x, deci si x^n=x,\forall n\geq 1 si atunci functiile polinomiale au cel mult gradul 1, deci singurele posibile sunt 0,1,x,x+1.

    La 2, x^8+x^4+1=x^8+2x^4+1-x^4=(x^4+1)^2-x^4= (x^4-x^2+1)(x^4+x^2+1)= (x^4-x^2+1)( (x^2+1)^2-x^2)=(x^4+x^2+1)(x^2-x+1)(x^2+x+1).

    Ultimele doua polinoame sunt ireductibile in \mathbb{Q} (chiar \mathbb{R}).

    Pentru primul polinom, deoarece el nu are radacini reale (pentru ca notand x^2=t obtinem o ecuatie fara radacini reale), nu poate avea factori ireductibili de gradul 1 peste \mathbb{R} (deci nici peste \mathbb{Q}). Inseamna ca singura descompunere posibila e ca un produs de polinoame de gradul doi: x^2+ax+b,x^2+cx+d. Avem (x^2+ax+b)(x^2+cx+d)=x^4-x^2+1 \Leftrightarrow x^3+x^3(c+a)+x^2(d+ac+b)+x(ad+bc)+bd=x^4-x^2+1. Deducem relatiile:
    c=-a (din prima relatie)
    d=\frac{1}{b} si b,d\neq 0 (din ultima)
    ad+bc=0 (a treia)
    d+ac+b=-1 (a doua)

    Inlocuind primele doua relatii in a treia obtinem \frac{a}{b}-ab=0 \Leftrightarrow a-ab^2= 0 \Leftrightarrow a(1-b^2)=0. Deducem a=0 sau b=1 sau b=-1.

    Daca a=0, din ultima relatie avem b+\frac{1}{b}=-1, imposibil pentru b real.
    Daca b=1, ultima relatie devine 1-a^2+1=-1, imposibil pentru a rational.
    Daca b=-1, ultima relatie devine -1-a^2-1=-1 \Leftrightarrow a^2=-1, imposibil pentru a real.

    Asadar, polinomul este ireductibil, deci descompunerea ceruta e cea de la inceput.

  2. A_Cristian
    expert (VI)

    Ai gresit putin la calcule si ai tras concluzia gresita la final. Daca b=1 atunci ajungi la relatia a^2=3.

    Insa trebuie avut in vedere altceva. Daca un polinom cu coeficienti reali admite o radacina complexa nereala, atunci automat admite si conjugata sa. De aici rezulta imediat un polinom de grad 2 cu coeficienti reali. Cu alte cuvinte, un polinom de grad n cu coeficienti reali se descompune tot timpul in produs de polinoame de grad 1 sau 2 cu coeficienti reali. Daca am forta coeficientii determinanti sa fie 1 tot timpul, atunci descompunerea este unica.
    Bonus, daca tot ai folosit artificiul cu diferenta de patrate, ai fi putut sa-l folosesti si la x^4-x^2+1. Avem x^4-x^2+1 =x^4+2x^2+1 -3x^2 = (x^2+1)^2-3x^2 = ...

Raspunde

Raspunde