Home/ Intrebari/Q 92562
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

pp
Pe: 2018-02-25T16:42:02+02:00 In: In:

Numere complexe

1)Fie S suma valorilor distincte pe care le ia an=\left | x^n+ \frac{1}{x^n} \right |, dacă x^2+x+1=0 n-natural diferit de 0.
2)Se considera ecuatia bipatrata x^4-2mx^2+(m+1)^2=0 m din R. Sa se determine m astfel incat sai aiba toate solutiile in C\R.

Similare

3 raspunsuri

  1. PhantomR
    expert (VI)

    La 2, notand x^2=t obtinem o ecuatie de gradul 2: t^2-2mxt+(m+1)^2=0. Exista 2 cazuri in care solutiile finale vor fi nereale: ori radacinile acestei ecuatii in t sunt reale si <0 (se pun conditiile \Delta \geq 0, s<0, p>0), fie radacinile sunt complexe nereale: conditia \Delta < 0.

    La 1 doar sunt definite S,a_n,x_n. Cerinta e sa determinam S sau ce anume 😀?

  2. gigelmarga
    profesor

    PhantomR post_id=110712 time=1519667494 user_id=15235 wrote:

    La 1 doar sunt definite S,a_n,x_n. Cerinta e sa determinam S sau ce anume 😀?

    Da, se cere S. Problema s-a dat la admitere la ASE mai de mult.

  4. PhantomR
    expert (VI)

    Multumesc 🙂. Atunci.. observam ca daca x_1,x_2 sunt radacinile ecuatiei date, atunci x_1x_2=1 \Rightarrow x_2=\frac{1}{x_1}, deci expresia e a_n=|x_1^n+x_2^n|. Daca notam s_k=x_1^k+x_2^k, avem relatia de recurenta: s_{k+1}+s_k+s_{k-1}=0 \Leftrightarrow s_{k+1}=-(s_k-s_{k-1}). Din relatia de recurenta, observam ca un termen depinde doar de primii 2 de dinaintea lui.
    Avem s_1=s=-1 si s_2=s^2-2p=-1. Calculand cativa termeni, avem:
    s_3=2
    s_4=-1
    s_5=-1
    s_6=2

    Observam ca termenii incep sa se repete (de acolo de unde am dat din nou de cei doi -1, de exemplu, astfel incat e sigur ca dupa urmeaza iar 2 etc.)

    Deci singurele valori pe care le poate lua expresia x_1^n+x_2^n sunt -1 si 2, deci singurele valori pe care le poate lua a_n=|x_1^n+x_2^n| sunt 1 si 2.

    Deci S=3.

Raspunde

Raspunde