Home/ Intrebari/Q 92462
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

quaintej
user (0)
Pe: 2017-12-14T21:38:32+02:00 In: In:

Inegalitate cu modul de numere complexe

Buna seara!
Am o nedumerire legata de o problema de la concursul „Teodor Topan” 2016. Nu am avut nicio idee de pornire, dar nu am inteles nici ce se explica in barem. ( link cu baremul: , e vorba de problema 4 de la clasa a 10-a. )
Sa se determine cel mai mare numar real k cu proprietatea ca pentru orice numar complex z cu proprietatea |z| ≥ 1 are loc inegalitatea
|2z-1|^{5}\geq k |z-1|^{4}
In barem se ghiceste oarecum k maxim iar apoi se demonstreaza ca asa e. Nu imi este la indemana aceasta rezolvare mai ales pentru ca nu ma pricep sa „observ” raspunsurile si in cazul in care reusesc, patesc sa am retineri cand vine vorba de demonstratie, deoarece ma impotmolesc uneori si tind sa consider ca nu am ghicit bine rezultatul.
Asadar, daca are cineva o alta metoda de abordare pentru aceasta problema sau sfaturi legat de cum as putea sa-mi imbunatatesc gandirea cand vine vorba de probleme asemanatoare, va rog sa-mi spuneti.
Multumesc anticipat!

Similare

2 raspunsuri

  1. Integrator
    maestru (V)

    quaintej post_id=110144 time=1513287512 user_id=21713 wrote:
    Buna seara!
    Am o nedumerire legata de o problema de la concursul „Teodor Topan” 2016. Nu am avut nicio idee de pornire, dar nu am inteles nici ce se explica in barem. ( link cu baremul: , e vorba de problema 4 de la clasa a 10-a. )
    Sa se determine cel mai mare numar real k cu proprietatea ca pentru orice numar complex z cu proprietatea |z| ≥ 1 are loc inegalitatea
    |2z-1|^{5}\geq k |z-1|^{4}
    In barem se ghiceste oarecum k maxim iar apoi se demonstreaza ca asa e. Nu imi este la indemana aceasta rezolvare mai ales pentru ca nu ma pricep sa „observ” raspunsurile si in cazul in care reusesc, patesc sa am retineri cand vine vorba de demonstratie, deoarece ma impotmolesc uneori si tind sa consider ca nu am ghicit bine rezultatul.
    Asadar, daca are cineva o alta metoda de abordare pentru aceasta problema sau sfaturi legat de cum as putea sa-mi imbunatatesc gandirea cand vine vorba de probleme asemanatoare, va rog sa-mi spuneti.
    Multumesc anticipat!


    Bună dimineața,

    Fie z=a+bi cu |z|=\sqrt{a^2+b^2}\geq 1 , atunci obținem \bigg (\sqrt{(2a-1)^2+4b^2} \bigg )^5\geq k\bigg (\sqrt{(a-1)^2+b^2}\bigg)^4 de unde rezultă k\leq \frac{\bigg (\sqrt{(2a-1)^2+4b^2}\bigg )^5}{\bigg (\sqrt{(a-1)^2+b^2}\bigg )^4} , de unde tragem concluzia că fracția din membrul drept trebuie să aibă o valoare finită și care poate fi maximă doar pentru a=0 și b=1 adică pentru |z|=1 pentru ca astfel să obținem cea mai mare valoare a lui k pentru care există inegalitatea |2z-1|^{5}\geq k |z-1|^{4} și evident când introducem în inegalitatea |2z-1|^{5}\geq k |z-1|^{4} pe z=i unde i^2=-1 obținem k\leq \frac{25sqrt{5}}{4}.
    –––––––––––-
    La clasa X-a ați facut calculul extremelor funcțiilor de două variabile?

    Toate cele bune,

    Integrator

    • 0
  2. quaintej
    user (0)

    Multumesc pentru explicatii, imi este un pic mai clar acum.
    Nu,nu am studiat inca calculul extremelor functiilor de doua variabile.

    • 0
Raspunde

Raspunde