Home/ Intrebari/Q 92419
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

biankp
Pe: 2017-10-29T15:26:07+02:00 In: In:

Problema algebra

Aratati ca daca 1/a+1/b+1/c=1/(a+b+c), atunci 1/a^n + 1/b^n + 1/c^n = 1/(a+b+c)^n, pentru orice n natural, impar.

Similare

3 raspunsuri

  1. Integrator
    maestru (V)

    biankp post_id=109933 time=1509290767 user_id=22597 wrote:
    Aratati ca daca 1/a+1/b+1/c=1/(a+b+c), atunci 1/a^n + 1/b^n + 1/c^n = 1/(a+b+c)^n, pentru orice n natural, impar.


    Bună seara,

    În general , pentru ce valori ale lui a,b,c poate exista egalitatea \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c} , sau altfel spus ce relații și ce condiții trebuie să fie între a și b , sau între a și c , sau respectiv între b și c astfel încât să avem în general satisfăcută egalitatea \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}?
    Dacă găsim aceste relații și condiții între a,b,c , atunci se poate arăta ușor că \frac{1}{a^n}+\frac{1}{b^n}+\frac{1}{c^n}=\frac{1}{(a+b+c)^n}.De exemplu , dacă a=-b și ac\neq 0 ce obținem?De ce n trebuie să fie un număr natural impar?

    Toate cele bune,

    Integrator

  2. gigelmarga
    profesor

    biankp post_id=109933 time=1509290767 user_id=22597 wrote:
    Aratati ca daca 1/a+1/b+1/c=1/(a+b+c), atunci 1/a^n + 1/b^n + 1/c^n = 1/(a+b+c)^n, pentru orice n natural, impar.

    Egalitatea 1/a+1/b+1/c=1/(a+b+c) este echivalentă (după calcule nu foarte complicate) cu (a+b)(b+c)(c+a)=0, deci două dintre numere sunt opuse, de unde concluzia.
    Putem obține același lucru și fără calcule, dar trebuie folosite relațiile lui Viete.

  4. biankp

    Va multumesc, domnule profesor ! Mi-ati dat un indiciu care a rezolvat problema.
    Cu stima, Bianca Paunescu

Raspunde

Raspunde