Home/ Intrebari/Q 92371
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

razvanw0w
user (0)
Pe: 2017-09-21T13:08:05+03:00 In: In:

Parte stabilă

Fie mulțimea M = (-1, 1) și legea de compoziție "*" astfel încât x * y = \dfrac{x + y}{1 + xy}. Să se demonstreze că mulțimea M este parte stabilă în raport cu legea de compoziție "*".

Ce am încercat eu până acum:

M parte stabilă în raport cu "*" \Leftrightarrow (\forall \; x, y \in M \Rightarrow x * y \in M)
Am luat două puncte arbitrare din acea mulțime și am afirmat următorul lucru:
fie \; x, y \in M \Rightarrow x, y \in (-1, 1) \Rightarrow |x|, |y| < 1
Cum știm că ambele module sunt nenegative, dacă înmulțim egalitățile membru cu membru ajungem la: |x| \cdot |y| < 1 \Rightarrow |xy| < 1 \Leftrightarrow -1 < xy < 1 \Rightarrow 0 < 1 + xy < 2

Adunând relațiile inițiale în x și y membru cu membru, obțin și -2 < x + y < 2.

Problema mea este că nu știu cum să mă folosesc de încadrarea numărătorului și numitorului ca să arăt că x * y \in M. V-aș fi recunoscător dacă mi-ați putea da câteva indicații. Mulțumesc!

Similare

2 raspunsuri

  1. A_Cristian
    expert (VI)

    Nu mai tin minte daca am rezolvat problema pe acest forum sau pe altul.

    1+x>0, 1+y>0 => (1+x)(1+y)>0=> x+y>-1-xy
    Echivalent se demonstreaza ca x+y<1+xy.
    Mai trebuie sa demonstrezi doar ca 1+xy>0. Imparti ambele inegalitati cu 1+xy si obtii stabilitatea.

    • 0
  2. razvanw0w
    user (0)

    Am înțeles, nu m-am gândit la abordarea asta. Mersi fain!

    • 0
Raspunde

Raspunde