Home/ Intrebari/Q 92366
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

pp
Pe: 2017-09-19T14:11:10+03:00 In: In:

Primitive

1.a)Demonstrati ca functia f:R->R f(x)={x}-{x}^2 are primitive.
b)Dacă F e primitiva lui f care verifică F(3/2)=-1/2, aflați F(1).

Similare

1 raspuns

  1. red12dog34
    veteran (III)

    Avem f(x)=(x-[x])(1-x+[x])
    Funcția este continuă pe fiecare interval deschis dintre două numere întregi consecutive. Arătăm că funcția este continuă și în fiecare punct k întreg.
    Pentru aceasta explicităm funcția pe intervalele [k-1,k) și [k,k+1):
    f(x)=\begin{cases}(x-k+1)(-x+k), & x\in[k-1,k)\\(x-k)(1-x+k), & x\in[k,k+1)\end{cases} (1)
    Se observa imediat ca limitele laterale ale functiei în k și valoarea funcției în k, toate trei sunt egale cu 0, deci funcția este continuă în k.
    Rezultă că f este continuă pe R, deci admite primitive.

    Făcând calculele în (1) avem
    f(x)=\begin{cases}-x^2+(2k-1)x-k^2+k, & x\in[k-1,k)\\-x^2+(2k+1)x-k^2-k, & x\in[k,k+1)\end{cases}
    O primitivă F este de forma
    F(x)=\begin{cases}-\frac{x^3}{3}+\frac{2k-1}{2}x^2-(k^2-k)x+c_1, & x\in[k-1,k)\\-\frac{x^3}{3}+\frac{2k+1}{2}x^2-(k^2+k)x+c_2, & x\in[k,k+1)\end{cases}
    Notând c_1=c, din condiția de continuitate a lui F în punctul k rezultă c_2=k^3+c
    Cum 3/2 și 1 aparțin intervalului [1,2), îi dăm lui k valoarea 1 și obținem
    F(x)=-\frac{x^3}{3}+\frac{3x^2}{2}-2x+1+c
    Acum, din F(3/2)=-1/2 aflăm c, apoi se calculează F(1).

Raspunde

Raspunde