Home/ Intrebari/Q 92282
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

Silviu12
Pe: 2017-06-13T16:21:13+03:00 In: In:

Integrala 439

    \[ \int\limits_0^{4\pi } {\frac{{dx}}{{5 + 4\cos x}}} \]

Am incercat sa fac o data substitutia t=x-2pi si mi-a rezultat(deoarece functia e para):

    \[ 2\int\limits_0^{2\pi } {\frac{{dx}}{{5 + 4\cos x}}} \]

am mai facut o substituie t=x-pi si mi-a rezultat:

    \[ 4\int\limits_0^\pi {\frac{{dx}}{{5 - 4\cos x}}} \]

In sfarsit am mai facut o substituie t=x-pi/2 ca sa ajung la intervalul pe care e definit tangenta:

    \[ 4\int\limits_{\frac{{ - \pi }}{2}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{dt}}{{5 - 4\cos (\frac{\pi }{2} + t)}}} \]

de aici am incercat sa fac acea bine cunoscuta substitutie tg(x/2)=t..insa nu am ajuns la rezultatul din carte adica

    \[ \frac{{4\pi }}{3} \]

Gresesc undeva? Multumesc!

Similare

3 raspunsuri

  1. gigelmarga
    profesor

    Standard, se face substitutia tg(x/2)=t din start, se obtine expresia formală a primitivei, valabilă însă doar pe intervale unde are sens tg(x/2).

    Astfel, trebuie calculate diverse constante pe (0,pi),(pi,3pi), etc.

    Alternativ (oarecum la fel de complicat) poti folosi abordarea de aici:

  2. ghioknt
    profesor

    Silviu12 wrote:
    de aici am incercat sa fac acea bine cunoscuta substitutie tg(x/2)=t..insa nu am ajuns la rezultatul din carte adica

        \[ \frac{{4\pi }}{3} \]

    Gresesc undeva? Multumesc!

    Până aici nu ai gresit nimic; toate cele 4 integrale conduc la acelasi rezultat \frac{4\pi }{3}. Trebuie doar să le finalizezi.
    Astfel ultima integrală se scrie
    4\int_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}\frac{1}{5+4\sin x}dx=4\int_{-1}^1\frac{1}{5+\frac{8t}{1+t^2}}\cdot \frac{2}{1+t^2}dt=8\int_{-1}^{1}\frac{1}{5t^2+8t+5}dt=\\=\frac{8}{5}\int_{-1}^{1}\frac{1}{(t+\frac{4}{5})^2+(\frac{3}{5})^2}dt=\frac{8}{5}\cdot \frac{5}{3}arctg\frac{5t+4}{3}|_{-1}^1=\frac{8}{3}(arctg3+arctg\frac{1}{3})=\\=\frac{8}{3}(arctg3+arcctg3)=\frac{8}{3}\cdot \frac{\pi }{2}=\frac{4\pi }{3}.

    O să abordez si a doua integrală, care rezultă din prima datorită perioadei 2pi a functiei de sub integrală.
    Pentru că f(x)=\frac{1}{5+4\cos x} este continuă pe (-\pi ;3\pi), deducem că ea admite primitive pe acest interval
    si, mai mult, G(x)=\int_{\pi }^{x}f(u)du este o asemenea primitivă.
    Cu substitutia t=tg(x/2) aflăm că F(x)=\frac{2}{3}arctg\frac{tg\frac{x}{2}}{3} este o primitivă a functiei f,
    adică (\frac{2}{3}arctg\frac{tg\frac{x}{2}}{3})'=\frac{1}{5+4\cos x} pentru orice x, atât din (-pi; pi), cât si din (pi; 3pi).
    Pentru\;x\in (-\pi ;\pi ):\;G(x)=\frac{2}{3}arctg\frac{tg\frac{u}{2}}{3}|_{\pi -0}^{x}=\frac{2}{3}arctg\frac{tg\frac{x}{2}}{3}-\lim_{u\to \pi \\u<\pi }\frac{2}{3}arctg\frac{tg\frac{u}{2}}{3}=\\=\frac{2}{3}arctg\frac{tg\frac{x}{2}}{3}-\lim_{y\to \infty }\frac{2}{3}arctgy=\frac{2}{3}arctg\frac{tg\frac{x}{2}}{3}-\frac{\pi }{3}.
    Pentru\;x\in (\pi ;3\pi ):\;G(x)=\frac{2}{3}arctg\frac{tg\frac{u}{2}}{3}|_{\pi +0}^{x}=\frac{2}{3}arctg\frac{tg\frac{x}{2}}{3}-\lim_{u\to \pi \\u>\pi }\frac{2}{3}arctg\frac{tg\frac{u}{2}}{3}=\\=\frac{2}{3}arctg\frac{tg\frac{x}{2}}{3}-\lim_{y\to -\infty }\frac{2}{3}arctgy=\frac{2}{3}arctg\frac{tg\frac{x}{2}}{3}+\frac{\pi }{3}.
    G(x)=\begin{cases}\frac{2}{3}arctg\frac{tg\frac{x}{2}}{3}-\frac{\pi }{3}\;pt.\;x\in (-\pi;\pi)\\0\;\;\;pt.\; x=\pi\\\frac{2}{3}arctg\frac{tg\frac{x}{2}}{3}+\frac{\pi }{3}\;pt.\;x\in {\pi;3\pi)\end{cases} îndeplineste conditiile:
    a) este continuă în pi (limitele laterale si valoarea sunt toate 0);
    b) este derivabilă pe (-pi; pi)U(pi; 3pi) si G'(x)=f(x) în toate aceste puncte;
    c)\lim_{x\to \pi }G'(x)=\lim_{x\to \pi }f(x)=f(\pi ), deci, în final, G'(x)=f(x) pe tot intervalul (-pi; pi).
    Functia G astfel construită este o primitivă a functiei f pe intervalul (-pi; pi) asa că
    2\int_{0}^{2\pi }\frac{dx}{5+4\cos x}=2(G(2\pi )-G(0))=2[(\frac{2}{3}arctg(tg\pi )+\frac{\pi }{3})-(\frac{2}{3}arctg(tg0 )-\frac{\pi }{3})]=\frac{4\pi }{3}.

  4. Silviu12

    ghioknt wrote: [quote=Silviu12]
    de aici am incercat sa fac acea bine cunoscuta substitutie tg(x/2)=t..insa nu am ajuns la rezultatul din carte adica

        \[ \frac{{4\pi }}{3} \]

    Gresesc undeva? Multumesc!

    Până aici nu ai gresit nimic; toate cele 4 integrale conduc la acelasi rezultat \frac{4\pi }{3}. Trebuie doar să le finalizezi.
    Astfel ultima integrală se scrie
    4\int_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}\frac{1}{5+4\sin x}dx=4\int_{-1}^1\frac{1}{5+\frac{8t}{1+t^2}}\cdot \frac{2}{1+t^2}dt=8\int_{-1}^{1}\frac{1}{5t^2+8t+5}dt=\\=\frac{8}{5}\int_{-1}^{1}\frac{1}{(t+\frac{4}{5})^2+(\frac{3}{5})^2}dt=\frac{8}{5}\cdot \frac{5}{3}arctg\frac{5t+4}{3}|_{-1}^1=\frac{8}{3}(arctg3+arctg\frac{1}{3})=\\=\frac{8}{3}(arctg3+arcctg3)=\frac{8}{3}\cdot \frac{\pi }{2}=\frac{4\pi }{3}.

    O să abordez si a doua integrală, care rezultă din prima datorită perioadei 2pi a functiei de sub integrală.
    Pentru că f(x)=\frac{1}{5+4\cos x} este continuă pe (-\pi ;3\pi), deducem că ea admite primitive pe acest interval
    si, mai mult, G(x)=\int_{\pi }^{x}f(u)du este o asemenea primitivă.
    Cu substitutia t=tg(x/2) aflăm că F(x)=\frac{2}{3}arctg\frac{tg\frac{x}{2}}{3} este o primitivă a functiei f,
    adică (\frac{2}{3}arctg\frac{tg\frac{x}{2}}{3})'=\frac{1}{5+4\cos x} pentru orice x, atât din (-pi; pi), cât si din (pi; 3pi).
    Pentru\;x\in (-\pi ;\pi ):\;G(x)=\frac{2}{3}arctg\frac{tg\frac{u}{2}}{3}|_{\pi -0}^{x}=\frac{2}{3}arctg\frac{tg\frac{x}{2}}{3}-\lim_{u\to \pi \\u<\pi }\frac{2}{3}arctg\frac{tg\frac{u}{2}}{3}=\\=\frac{2}{3}arctg\frac{tg\frac{x}{2}}{3}-\lim_{y\to \infty }\frac{2}{3}arctgy=\frac{2}{3}arctg\frac{tg\frac{x}{2}}{3}-\frac{\pi }{3}.
    Pentru\;x\in (\pi ;3\pi ):\;G(x)=\frac{2}{3}arctg\frac{tg\frac{u}{2}}{3}|_{\pi +0}^{x}=\frac{2}{3}arctg\frac{tg\frac{x}{2}}{3}-\lim_{u\to \pi \\u>\pi }\frac{2}{3}arctg\frac{tg\frac{u}{2}}{3}=\\=\frac{2}{3}arctg\frac{tg\frac{x}{2}}{3}-\lim_{y\to -\infty }\frac{2}{3}arctgy=\frac{2}{3}arctg\frac{tg\frac{x}{2}}{3}+\frac{\pi }{3}.
    G(x)=\begin{cases}\frac{2}{3}arctg\frac{tg\frac{x}{2}}{3}-\frac{\pi }{3}\;pt.\;x\in (-\pi;\pi)\\0\;\;\;pt.\; x=\pi\\\frac{2}{3}arctg\frac{tg\frac{x}{2}}{3}+\frac{\pi }{3}\;pt.\;x\in {\pi;3\pi)\end{cases} îndeplineste conditiile:
    a) este continuă în pi (limitele laterale si valoarea sunt toate 0);
    b) este derivabilă pe (-pi; pi)U(pi; 3pi) si G'(x)=f(x) în toate aceste puncte;
    c)\lim_{x\to \pi }G'(x)=\lim_{x\to \pi }f(x)=f(\pi ), deci, în final, G'(x)=f(x) pe tot intervalul (-pi; pi).
    Functia G astfel construită este o primitivă a functiei f pe intervalul (-pi; pi) asa că
    2\int_{0}^{2\pi }\frac{dx}{5+4\cos x}=2(G(2\pi )-G(0))=2[(\frac{2}{3}arctg(tg\pi )+\frac{\pi }{3})-(\frac{2}{3}arctg(tg0 )-\frac{\pi }{3})]=\frac{4\pi }{3}.

    am inteles.Multumesc mult!

Raspunde

Raspunde