Home/ Intrebari/Q 92212
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

cristinat
Pe: 2017-05-08T17:40:35+03:00 In: In:

ecuatia tangentei

la ce ajuta cand scriem ecuatia tangentei intr-un punct al Gf? presupun ca ajuta la ceva in alte exercitii…

Similare

3 raspunsuri

  1. ghioknt
    profesor

    cristinat wrote: la ce ajuta cand scriem ecuatia tangentei intr-un punct al Gf? presupun ca ajuta la ceva in alte exercitii…

    Ai dreptate, scrierea ecuatiei tangentei în punctul (c, f(c)) al unui grafic poate ajuta la rezolvarea unor probleme, dar si la unele dezvoltări
    teoretice. As observa mai întâi că ecuatia explicită a unei asemenea tangente, y=f(c)+f'(c)(x-c), contine în membrul al doilea primii 2
    termeni din ceeace se numeste dezvoltarea în serie Taylor în jurul lui c a functiei f. Dacă iau 3 termeni din aceeasi dezvoltare, ecuatia
    y=f(c)+f'(c)(x-c)+(f”(c)/2)(x-c)^2 este ecuatia parabolei tangente la grafic în punctul (c, f(c)). Această parabolă are cu graficul lui f
    un contact de ordinul 2 pentru că f si polinomul din membrul drept au în comun valorile, valorile derivatelor si valorile derivatelor
    secunde, toate calculate în punctul c.
    Poate ai învătat la scoală următoarea caracterizare a unei functii convexe.
    Dacă functia f este de două ori derivabilă si convexă pe intervalul I, atunci graficul său se află „deasupra” oricărei tangente la grafic
    într-un punct al acestuia cu abscisa c în intervalul I.
    Adică pentru oricare x si oricare c din I: f(x)\geq f(c)+f'(c)(x-c).
    Această inegalitate se obtine dacă tii cont de formula lui Lagrange, de monotonia lui f’ si de semnul lui x-c (când elimini numitorul).
    Evident, dacă f este concavă pe un interval, atunci sensul inegalitătii se schimbă, iar formularea „deasupra oricărei tangente”
    trebuie înlocuită cu „sub oricare tangentă”
    Iată si o aplicatie inspirată de postarea http://forum.matematic.ro/viewtopic.php?t=37917
    Dacă f:\mathbb{R}\to [0;\infty ) este de două ori derivabilă si concavă atunci f este constantă.
    Fie a în care f'(a)>0 si y=t_a(x) ecuatia tangentei în punctul corespunzător. Având panta strict pozitivă, această tangentă
    trversează Ox, deci \exists x_1<a\;a.\;i.\;t_a(x_1)<0, dar f fiind concavă, graficul ei se află sub această tangentă,
    deci f(x_1)\leq t_a(x_1)<0, imposibil. Concluzia: nu există a a. î. f'(a)<0.
    Fie b în care f'(b)<0 si y=t_b(x) ecuatia tangentei în punctul corespunzător. Având panta strict negativă, această tangentă
    trversează Ox, deci \exists x_2:b\;a.\;i.\;t_b(x_2)<0 dar f fiind concavă, graficul ei se află sub această tangentă,
    deci f(x_2)\leq t_b(x_2)<0, imposibil. Concluzia: nu există b a. î. f'(b)<0.
    Concluzia concluziilor: f'(x)=0 în orice x.

  2. gigelmarga
    profesor

    Un răspuns de pe alt site, întrebarea fiind a altcuiva (desi nu stiu cât de probabil e asa ceva, întrebările fiind, practic, identice)

  4. cristinat

    ghioknt wrote: [quote=cristinat]la ce ajuta cand scriem ecuatia tangentei intr-un punct al Gf? presupun ca ajuta la ceva in alte exercitii…

    Ai dreptate, scrierea ecuatiei tangentei în punctul (c, f(c)) al unui grafic poate ajuta la rezolvarea unor probleme, dar si la unele dezvoltări
    teoretice. As observa mai întâi că ecuatia explicită a unei asemenea tangente, y=f(c)+f'(c)(x-c), contine în membrul al doilea primii 2
    termeni din ceeace se numeste dezvoltarea în serie Taylor în jurul lui c a functiei f. Dacă iau 3 termeni din aceeasi dezvoltare, ecuatia
    y=f(c)+f'(c)(x-c)+(f”(c)/2)(x-c)^2 este ecuatia parabolei tangente la grafic în punctul (c, f(c)). Această parabolă are cu graficul lui f
    un contact de ordinul 2 pentru că f si polinomul din membrul drept au în comun valorile, valorile derivatelor si valorile derivatelor
    secunde, toate calculate în punctul c.
    Poate ai învătat la scoală următoarea caracterizare a unei functii convexe.
    Dacă functia f este de două ori derivabilă si convexă pe intervalul I, atunci graficul său se află „deasupra” oricărei tangente la grafic
    într-un punct al acestuia cu abscisa c în intervalul I.
    Adică pentru oricare x si oricare c din I: f(x)\geq f(c)+f'(c)(x-c).
    Această inegalitate se obtine dacă tii cont de formula lui Lagrange, de monotonia lui f’ si de semnul lui x-c (când elimini numitorul).
    Evident, dacă f este concavă pe un interval, atunci sensul inegalitătii se schimbă, iar formularea „deasupra oricărei tangente”
    trebuie înlocuită cu „sub oricare tangentă”
    Iată si o aplicatie inspirată de postarea http://forum.matematic.ro/viewtopic.php?t=37917
    Dacă f:\mathbb{R}\to [0;\infty ) este de două ori derivabilă si concavă atunci f este constantă.
    Fie a în care f'(a)>0 si y=t_a(x) ecuatia tangentei în punctul corespunzător. Având panta strict pozitivă, această tangentă
    trversează Ox, deci \exists x_1<a\;a.\;i.\;t_a(x_1)<0, dar f fiind concavă, graficul ei se află sub această tangentă,
    deci f(x_1)\leq t_a(x_1)<0, imposibil. Concluzia: nu există a a. î. f'(a)<0.
    Fie b în care f'(b)<0 si y=t_b(x) ecuatia tangentei în punctul corespunzător. Având panta strict negativă, această tangentă
    trversează Ox, deci \exists x_2:b\;a.\;i.\;t_b(x_2)<0 dar f fiind concavă, graficul ei se află sub această tangentă,
    deci f(x_2)\leq t_b(x_2)<0, imposibil. Concluzia: nu există b a. î. f'(b)<0.
    Concluzia concluziilor: f'(x)=0 în orice x.nu am inteles de unde rezulta ecuatia parabolei

Raspunde

Raspunde