Home/ Intrebari/Q 92195
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

paulhaiduc27
Pe: 2017-05-02T12:48:58+03:00 In: In:

integrala irationala

    \[ \int {\frac{{dx}}{{x \cdot \sqrt {x^2 + 4} }}} = ? \]

Similare

1 raspuns

  1. ghioknt
    profesor

    Pentru ca functia nu este definita in 0, mai intai trebuie sa alegi intervalul pe care vei calcula primitivele (-\infty ;0)\;sau\;(0;\infty ).
    Vei tine cont ca, pe primul interval |x|=-x, iar pe al doilea |x|=x. Dintre multele posibilitati, propun schimbarea t=1/x, cu dt=(-1/x^2)dx.
    Pe primul interval \int \frac{dx}{x\sqrt{x^2(1+\frac{4}{x^2})}}=\int \frac{dx}{-x^2\sqrt{1+\frac{4}{x^2}}} devine \int \frac{dt}{\sqrt{1+(2t)^2}}=\frac{1}{2}ln(2t+\sqrt{1+4t^2})+C
    deci \int \frac{dx}{x\sqrt{x^2+4}}=\frac{1}{2}ln\left ( \frac{2}{x}+\sqrt{1+\frac{4}{x^2}} \right )+C=\frac{1}{2}ln\frac{2-\sqrt{x^2+4}}{x}+C.
    Pe al doilea inteval \int \frac{dx}{x^2\sqrt{1+\frac{4}{x^2}}} devine \int \frac{-dt}{\sqrt{1+(2t)^2}}=-\frac{1}{2}ln(2t+\sqrt{1+4t^2})+C
    deci \int \frac{dx}{x\sqrt{x^2+4}}=-\frac{1}{2}ln\left ( \frac{2}{x}+\sqrt{1+\frac{4}{x^2}} \right )+C=-\frac{1}{2}ln\frac{2+\sqrt{x^2+4}}{x}+C.

Raspunde

Raspunde