Home/ Intrebari/Q 92191
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

liviu_paul98
user (0)
Pe: 2017-04-30T10:32:57+03:00 In: In:

UTCN 601

Se considera functiile f_n: (0, \infty) \to \mathbb R

\: f_n(x) = \frac{1}{x(x^n + 1)}, \:\:n \in \mathbb N^*

si F_n:(0, \infty) \to \mathbb R primitiva functiei f_n al carei grafic trece prin punctul A(1, 0)

Solutia inecuatiei

|\lim_{n \to \infty} F_n(x)| \le 1

este:

A) (0, e]

B) [\frac{1}{\sqrt{e}}, e]

C) [\frac{1}{e}, e]

D) [\frac{1}{e}, \infty)

E) [1, \infty)

Raspunsul corect este D).

Am reusit sa calculez primitiva si am obtinut
\ln x - \frac{1}{n} \ln(x^n + 1) deoarece constanta am considerat-o 0 din conditia ca punctul se afla pe grafic

\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \ln(2) = 0

Similare

1 raspuns

  1. ghioknt
    profesor

    Primitiva care îndeplineste F_n(1)=0 este F_n(x)=\frac{1}{n}ln2+lnx-\frac{1}{n}ln(x^n+1).
    Pentru x<1: x^n\to 0\Rightarrow \lim_{n\to \infty }F_n(x)=lnx\;si\;|lnx|\leq 1\Leftrightarrow -1\leq lnx\leq 1\Leftrightarrow x\in [\frac{1}{e};1).
    x=1 este si el solutie, tocmai pentru că F_n(1)=0.
    Pentru x>1 scriem F_n(x)=\frac{1}{n}ln2+lnx-\frac{1}{n}lnx^n(1+\frac{1}{x^n})=\frac{1}{n}ln2-\frac{1}{n}ln(1+\frac{1}{x^n})
    care are limita 0, deci si orice x>1 este solutie.

    • 0
Raspunde

Raspunde