Home/ Intrebari/Q 92190
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

liviu_paul98
user (0)
Pe: 2017-04-29T22:39:42+03:00 In: In:

UTCN 747, 749

Se considera numerele complexe:

z_1 = \sin a - \cos a +i(\sin a + \cos a)

z_2 = \sin a + \cos a +i(\sin a - \cos a)

1) Determinati multimea valorilor lui a pentru care numarul complex w = z_1^n + z_2^n are modulul maxim.

Raspunsul este
\{\frac{k \pi}{n} + \frac{\pi}{2}| k \in \mathbb Z\}

2)Determinati multimea valorilor lui n pentru care z_1^n \cdot z_2^n, \: n \in \mathbb N^* este real si pozitiv.

Raspunsul este n = 4k, \: k \in N^*

Similare

2 raspunsuri

  1. ghioknt
    profesor

    Suma a două numere complexe are cel mai mare modul (este chiar suma modulelor) atunci când imaginile celor două numere
    se află pe aceeasi semidreaptă cu originea O, adică atunci când au acelasi argument redus, sau, totuna, când cele două multimi
    de argumente sunt egale. Mai concret, trebuie să avem
    Arg(z_1^n)=Arg(z_2^n)\Leftrightarrow \forall \alpha \in Arg(z_1^n)\;si\;\forall \beta \in Arg(z_2^n)\;\exists k\in \mathbb{Z}\;a.i.\beta -\alpha =2k\pi .
    Transformând în produse:
    \sin a-\cos a=\sin a-\sin(\frac{\pi }{2}-a)=\sqrt{2}\sin(a-\frac{\pi }{4})=\sqrt{2}\cos(\frac{3\pi }{4}-a)\\\sin a+\cos a=\sin a+\sin(\frac{\pi }{2}-a)=\sqrt{2}\cos(a-\frac{\pi }{4})=\sqrt{2}\sin(\frac{3\pi }{4}-a)
    avem z_1=\sqrt{2}(\cos(\frac{3\pi }{4}-a)+i\sin(\frac{3\pi }{4}-a)),\;z_2=\sqrt{2}(\cos(a-\frac{\pi }{4})+i\sin(a-\frac{\pi }{4}))
    adică formele trigonometrice ale celor două numere. Mi se pare evident că
    \alpha =n(\frac{3\pi }{4}-a)\in Arg(z_1^n),\;\beta =n(a-\frac{\pi }{4})\in Arg(z_2^n),
    iar conditia de mai sus conduce la rezultztul corect.

    Este usor de obtinut z_1z_2=2i,\;z_1^nz_2^n=2^n i^n si cum i^4=1, n=4k este obligatoriu.

    • 0
  2. liviu_paul98
    user (0)

    Multumesc mult pentru rezolvare !

    • 0
Raspunde

Raspunde