Home/ Intrebari/Q 92182
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

Silviu12
Pe: 2017-04-27T11:33:09+03:00 In: In:

limita utcn 313

    \[ \ {\lim }\limits_{x - > 0} \frac{{\sin x^n - \sin ^n x}}{{x^{n + 2} }} \]

Similare

13 raspunsuri

  1. ghioknt
    profesor

    Pentru ce as face efortul de a rezolva asemenea probleme pentru cineva care nu face efortul de a posta probleme complete,
    adică cu tot cu răspunsurile la alegere?

  2. thambor

    Am sa pun eu raspunsurile.Btw n>=2 natural

    a)inf
    b)0
    c)-n/6
    d)n/6
    e)1

  4. Silviu12

    Ma scuzati.Raspunsul e n/6.O sa am in vedere si punerea variantelor de raspuns de acuma.

  5. thambor

    Da m-am uitat la raspunsuri dar nu stiu cum sa ajung la el

  6. ghioknt
    profesor

    Iată aici, dacă lipseste răspunsul „nu există limita”, înseamnă că am o ipoteză în plus, si anume, pentru orice n există o limită.
    La un concurs cu multe asemenea probleme nu ai timp să găsesti care este limita pentru un n arbitrar, dar poti să o calculezi
    pentru n=2, cu L’Hospital de exemplu. Afli 1/3 si deduci că formula n/6 este singura care dă 1/3 pentru n=2.
    Voi reveni când voi avea mai mult timp.

  8. Silviu12

    ghioknt wrote: Iată aici, dacă lipseste răspunsul „nu există limita”, înseamnă că am o ipoteză în plus, si anume, pentru orice n există o limită.
    La un concurs cu multe asemenea probleme nu ai timp să găsesti care este limita pentru un n arbitrar, dar poti să o calculezi
    pentru n=2, cu L’Hospital de exemplu. Afli 1/3 si deduci că formula n/6 este singura care dă 1/3 pentru n=2.
    Voi reveni când voi avea mai mult timp.

    Multumesc mult!

  9. ghioknt
    profesor

    Stai că n-ai scăpat de mine!
    Dacă răspunsurile ar contine mai multe formule care dau 1/3 pentru n=2, atunci trebuie calculată cumva limita respectivă.
    O idee ar fi să stii inegalitătile x-\frac{x^3}{6}\leq \sin x\leq x care au loc pentru orice x pozitiv. Pe scurt:
    x^n-\frac{x^{3n}}{6}\leq \sin x^n\leq x^n\Rightarrow \frac{x^n-\sin^n x}{x^{n+2}}-\frac{x^{3n}}{6x^{n+2}}\leq f_n(x)\leq \frac{x^n-\sin^n x}{x^{n+2}}
    care arată că \lim_{x\to 0\\x>0}f_n(x)=\lim_{x\to 0\\x>0}\frac{x^n-\sin^n x}{x^{n+2}}=\lim_{x\to 0\\x>0}\frac{x-\sin x}{x^3}\cdot \frac{x^{n-1}+x^{n-2}\sin x+...+\sin^{n-1} x}{x^{n-1}}=\frac{1}{6}\cdot n.
    Nu trebuie calculată si limita la stânga, căci dacă aceasta nu ar fi tot n/6, atunci răspunsul corect ar fi „limita nu există”, răspuns care lipseste.

    Sau: f_n(x)=\frac{\sin x^n-x^n+x^n-\sin^n x}{x^{n+2}}=\frac{x^n-\sin^n x}{x^{n+2}}-\frac{x^n-\sin x^n}{x^{3n}}\cdot x^{2n-2}\to \frac{n}{6}-\frac{1}{6}\cdot 0.
    \lim_{x\to 0}\frac{x^n-\sin x^n}{x^{3n}}=\lim_{t\to 0}\frac{t-\sin t}{t^3}=\lim_{t\to 0}\frac{1-\cos t}{3t^2}=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{6}.

  10. thambor

    Am o mica neclaritate.Am incercat rezolvarea limitei prin mai multe metode,si mi-a dat rezultate eronate,desi nu prea inteleg unde am gresit.Poate ma puteti lamuri voi.

    Attached files

  12. ghioknt
    profesor

    Greseala pe care o faci s-ar putea numi „trecerea la limită sub limită” si constă în înlocuirea într-o expresie complexă a unor
    termeni/factori/factori ai unor termeni/etc cu limitele lor fără să fi distribuit operatorul lim la toate componentele expresiei.
    Concret, ai înlocuit doar pe (sinx)/x sau pe (sin2x)/(2x) cu 1, fără să te intereseze ce limite au ceilalti termeni/factori.
    Dacă ai fi făcut-o, ai fi constatat că obtii, în cel mai bun caz, tot 0/0, deci ar trebui continuat tot cu L’H.

  13. thambor

    Am o mare neclaritate privind limitele acestea.Daca sa zicem ca avem limita dintr-o franctie si incerc sa distribui numitorul fiecarui numarator,apoi incerc observ ca una dintre expresii este de exemplu (sin(x))/x^3, nu pot sa scot in evidenta limita sin(x)/x, sa o calculez doar pe ea fiindca este un produs,si daca imi da 1 sa ma intorc la 1/x^2 in limita mare.Concret daca am o suma la numarator si un numitor frumos,pot incerca sa sparg suma de mai sus si sa calculez o limita daca poate fi daca factor comun,iar ce ramane sa reintroduc sub limita mare?Ceva de genul am incercat sa fac si mai sus.Daca nu va rog sa imi explicati.Multumesc mult chiar m-a ajutati!!

  14. ghioknt
    profesor

    thambor wrote: Am o mare neclaritate privind limitele acestea.Daca sa zicem ca avem limita dintr-o franctie si incerc sa distribui numitorul fiecarui numarator,apoi incerc observ ca una dintre expresii este de exemplu (sin(x))/x^3, nu pot sa scot in evidenta limita sin(x)/x, sa o calculez doar pe ea fiindca este un produs,si daca imi da 1 sa ma intorc la 1/x^2 in limita mare.Concret daca am o suma la numarator si un numitor frumos,pot incerca sa sparg suma de mai sus si sa calculez o limita daca poate fi daca factor comun,iar ce ramane sa reintroduc sub limita mare?Ceva de genul am incercat sa fac si mai sus.Daca nu va rog sa imi explicati.Multumesc mult chiar m-a ajutati!!


    Când distribui operatorul lim, de fapt aplici niste teoreme pe care elevii le folosesc cu mult drag, de tipul: limita operatiei = operatia limitelor,
    unde operatia înseamnă suma, produsul, câtul, chiar si puterea. Numai că începătorii uită că aplicarea acestor teoreme este conditionată
    de doua cerinte (imperative si cumulative!):
    a) fiecare limită din membrul al doilea să existe;
    b) rezultatul obtinut să nu cadă într-unul din cele 7 „păcate”, a se citi nedeterminari.
    \lim_{x\to 0}\frac{2x\cos x^2-\sin 2x}{4x^3}=\lim_{x\to 0}\frac{\cos x^2}{2x^2}-\lim_{x\to 0}\frac{\sin 2x}{2x}\cdot \lim_{x\to 0}\frac{1}{2x^2}
    (asta înseamnă să distribui limita, adică să aplici teoremele; continuarea corectă este )
    =\frac{1}{+0}-1\cdot \frac{1}{+0}=\infty -\infty , iar acest rezultat înseamnă recunoasterea faptului că m-am rătăcit.
    Trebuie să mă întorc, adică să renunt la distribuirea lui lim, să constat că am un nou 0/0 si să mai aplic o dată L’H, poate am mai mult noroc.
    În loc de asta, tu ce propui? \lim_{x\to 0}\frac{\cos x^2}{2x^2}-1\cdot \lim_{x\to 0}\frac{1}{2x^2}=\lim_{x\to 0}(\frac{\cos x^2}{2x^2}-\frac{1}{2x^2}) 😯 😕
    Acum întelegi unde păcătuiesti, fiule?

  16. thambor

    Multumesc mult pentru explicatii.Puteti sa iti aratati varianta corecta de rezolvare a limitei?Eu am incercat sa scap de sin(x^2):

    lim(( (sin(x^2)/x^2)*x^2-sin^2(x))/x^4).Am trecut limita aceea la 1 si mi-a ramas

    lim((x^2-sin^2(x)/x^4)), iar prin regula lui l’Hopital am ajuns in final la expresia:

    lim(sin(2x)/6x)=1/3.

    Nu prea inteleg cumde mi-a dat asa,desi am trecut la accea limita in scadere.As dori sa vad si varianta corecta.Multumesc mult

  17. thambor

    Nu conteaza am reusit sa o rezolv prin aplicarea regulii lui l’Hopital de doua ori.Va multumesc mult pentru intrumare am invatat multe prin acest exercitiu!

Raspunde

Raspunde