utcn/132 radacina independenta

Question

Silviu12user (0)

Pe: 25 aprilie 20172017-04-25T19:21:02+03:00 2017-04-25T19:21:02+03:00In: MatematicaIn: Clasele IX-XII

utcn/132 radacina independenta

Pentru ce valori ale parametrului real b ecuatia:

$x^3 + a(a + 1)x^2 + ax - a(a + b) - 1 = 0$

admite o radacina independenta de a? Raspunsul e 2;

19 raspunsuri

Raspunde

Raspunde
Anulează răspunsul

A_Cristian · Answer 1 · 2017-04-25T21:15:56+03:00

A_Cristian expert (VI)

2017-04-25T21:15:56+03:00A raspuns pe 25 aprilie 2017 la 9:15 PM

Gandeste ecuatia ca si cum ar fi in a, cu x si b parametrii. Deci exista b si x, astfel incat functia polinomiala in a este nula peste tot.

0

Raspunde

Integrator · Answer 2 · 2017-04-26T05:26:21+03:00

Silviu12 wrote: Pentru ce valori ale parametrului real b ecuatia:

$x^3 + a(a + 1)x^2 + ax - a(a + b) - 1 = 0$

admite o radacina independenta de a? Raspunsul e 2;

Intuitiv căutăm o rădăcină întreagă a ecuatiei $x^3 + a(a + 1)x^2 + ax -a(a + b) - 1 = 0$ si deci această rădăcină ar putea să fie printre divizorii termenului liber si începem cu valoarea $x=1$ ceea ce înseamnă că $1+a^2+a+a-a^2-ab-1=0$ de unde rezultă $2a-ab=0$ adică $a=0$ pe care nu o luăm în considerare pentru că trebuie să arătăm că acea ecuatie are o solutie care nu depinde de $a$ oricare ar fi $a\neq 0$ si deci trebuie ca $b=2$ pentru care într-adevăr ecuatia are rădăcina $x=1$ oricare ar fi numărul $a$ deoarece $1+a^2+a+a-a^2-2a-1=0$ pentru orice valoare a lui $a$ .
Numărul $a$ poate fi un număr complex?

A_Cristian · Answer 3 · 2017-04-26T06:31:04+03:00

Integrator wrote: [quote=Silviu12]Pentru ce valori ale parametrului real b ecuatia:

$x^3 + a(a + 1)x^2 + ax - a(a + b) - 1 = 0$

admite o radacina independenta de a? Raspunsul e 2;

1. De ce n-ar putea x sa depinda de b si trebuie sa fie fix?
2. Care este termenul liber in acest caz?
3. De ce radacina reala ar fi intreaga?

Cu alte cuvinte, solutia nu este valida.

De exemplu, sa se rezolve aceeasi problema pentru ecuatia:
$x^3+a^2x^2+(a-2a^2b)x+a^2b^2-4a^2+3ab-6a-27b=0$ .

Sau o ecuatie putin modificata, in care x este diferit pentru fiecare b in parte:
$x^3+a^2x^2+(a-2a^2b)x+a^2b^2-4a^2+3ab-6a+27b-54=0$ .

Silviu12 · Answer 4 · 2017-04-26T10:34:30+03:00

Integrator wrote: [quote=Silviu12]Pentru ce valori ale parametrului real b ecuatia:

$x^3 + a(a + 1)x^2 + ax - a(a + b) - 1 = 0$

admite o radacina independenta de a? Raspunsul e 2;

Intuitiv căutăm o rădăcină întreagă a ecuatiei $x^3 + a(a + 1)x^2 + ax -a(a + b) - 1 = 0$ si deci această rădăcină ar putea să fie printre divizorii termenului liber si începem cu valoarea $x=1$ ceea ce înseamnă că $1+a^2+a+a-a^2-ab-1=0$ de unde rezultă $2a-ab=0$ adică $a=0$ pe care nu o luăm în considerare pentru că trebuie să arătăm că acea ecuatie are o solutie care nu depinde de $a$ oricare ar fi $a\neq 0$ si deci trebuie ca $b=2$ pentru care într-adevăr ecuatia are rădăcina $x=1$ oricare ar fi numărul $a$ deoarece $1+a^2+a+a-a^2-2a-1=0$ pentru orice valoare a lui $a$ .
Numărul $a$ poate fi un număr complex?

Nu se precizeaca daca a poate fi numar complex.Multumesc mult!

Integrator · Answer 5 · 2017-04-26T12:51:19+03:00

Silviu12 wrote: [quote=Integrator][quote=Silviu12]Pentru ce valori ale parametrului real b ecuatia:

$x^3 + a(a + 1)x^2 + ax - a(a + b) - 1 = 0$

admite o radacina independenta de a? Raspunsul e 2;

Intuitiv căutăm o rădăcină întreagă a ecuatiei $x^3 + a(a + 1)x^2 + ax -a(a + b) - 1 = 0$ si deci această rădăcină ar putea să fie printre divizorii termenului liber si începem cu valoarea $x=1$ ceea ce înseamnă că $1+a^2+a+a-a^2-ab-1=0$ de unde rezultă $2a-ab=0$ adică $a=0$ pe care nu o luăm în considerare pentru că trebuie să arătăm că acea ecuatie are o solutie care nu depinde de $a$ oricare ar fi $a\neq 0$ si deci trebuie ca $b=2$ pentru care într-adevăr ecuatia are rădăcina $x=1$ oricare ar fi numărul $a$ deoarece $1+a^2+a+a-a^2-2a-1=0$ pentru orice valoare a lui $a$ .
Numărul $a$ poate fi un număr complex?

Nu se precizeaca daca a poate fi numar complex.Multumesc mult!
Chiar dacă nu se precizează atunci rezultă din rationamentul intuitiv (si prin observatie directă) că numărul $a$ poate fi orice fel de număr si deci si un număr complex.
––––––––––––––––––
Alt rationament:
Din ecuatie rezultă că $b=\frac{x^3+(a^2+a)x^2+ax-a^2-1}{a}$ de unde întrucât se vrea ca o rădăcină să nu depindă de $a$ atunci este evident că nici $b$ nu trebuie să depindă de $a$ oricare ar fi numărul $a$ si în acest caz este necesar si suficient ca $x=1$ si astfel rezultă că $b=\frac{1+a^2+a+a-a^2-1}{a}=\frac{2a}{a}=2$ îndiferent de valoarea numărului $a\neq 0$ .Prin acest rationament eliminăm aparent valoarea $a=0$ desi pentru $x=1$ se vede direct din ecuatie că $a$ poate fi orice fel de număr.

Integrator · Answer 6 · 2017-04-26T13:13:45+03:00

A_Cristian wrote: [quote=Integrator][quote=Silviu12]Pentru ce valori ale parametrului real b ecuatia:

$x^3 + a(a + 1)x^2 + ax - a(a + b) - 1 = 0$

admite o radacina independenta de a? Raspunsul e 2;

Intuitiv căutăm o rădăcină întreagă a ecuatiei $x^3 + a(a + 1)x^2 + ax -a(a + b) - 1 = 0$ si deci această rădăcină ar putea să fie printre divizorii termenului liber si începem cu valoarea $x=1$ ceea ce înseamnă că $1+a^2+a+a-a^2-ab-1=0$ de unde rezultă $2a-ab=0$ adică $a=0$ pe care nu o luăm în considerare pentru că trebuie să arătăm că acea ecuatie are o solutie care nu depinde de $a$ oricare ar fi $a\neq 0$ si deci trebuie ca $b=2$ pentru care într-adevăr ecuatia are rădăcina $x=1$ oricare ar fi numărul $a$ deoarece $1+a^2+a+a-a^2-2a-1=0$ pentru orice valoare a lui $a$ .
Numărul $a$ poate fi un număr complex?

1. De ce n-ar putea x sa depinda de b si trebuie sa fie fix?
2. Care este termenul liber in acest caz?
3. De ce radacina reala ar fi intreaga?

Cu alte cuvinte, solutia nu este valida.

De exemplu, sa se rezolve aceeasi problema pentru ecuatia:
$x^3+a^2x^2+(a-2a^2b)x+a^2b^2-4a^2+3ab-6a-27b=0$ .

Sau o ecuatie putin modificata, in care x este diferit pentru fiecare b in parte:
$x^3+a^2x^2+(a-2a^2b)x+a^2b^2-4a^2+3ab-6a+27b-54=0$ .
1. Din ecuatie rezultă că dacă $x$ ar depinde numai de $b$ atunci ar trebui ca $a$ să depindă de $b$ sau $b$ să depindă de $a$ si acest rationament nu este în conformitate cu ceea cere problema.
2. Termenul liber al ecuatiei este $-a^2-ab-1$ .
3. Rădăcina reală trebuie să fie un număr întreg ,ba chiar un număr natural si anume $x=1$ dacă se vrea ca pentru orice număr $a$ ecuatia se vrea a avea o rădăcină reală.Radăcina reală poate fi un număr irational sau rational?Eu zic că nu….si acest fapt se poate demonstra foarte usor….
Ca atare eu nu văd alte rezolvări ale problemei decât cele două date de mine autorului postării problemei….Dati vă rog rezolvarea Dvs. completă!
––––––––––
Cele două ecuatii propuse de Dvs. nu au legătură cu problema propusă de autor , dar voi încerca să le rezolv….

Cu stimă,

Integrator

A_Cristian · Answer 7 · 2017-04-26T14:42:02+03:00

Ati inceput cautarea unui x fix. Eu am zis cu totul altceva, si anume pot exista mai multe b-uri pentru care exista o radacina care nu depinde de a. De aici si cautarea unui x nu are sens.
De exemplu pentru a doua ecuatie propusa de mine, exista 2 valori ale lui b pentru care exista cate un x care satisface ecuatia data indiferent de a. Cele 2 solutii sunt (b,x) apartin {(2,0), (1,3)}. Acum sper ca ati inteles ce-am spus cu acel x fix. Mai mult, se vede ca x=0 nu este divizor al termenului liber asa cum l-ati sugerat dumneavoastra initial ca fiind 1.

Cele 2 ecuatii propuse de mine sunt in acelasi context al problemei initiale. Iar ele au fost date pentru ca din ce-ati spus initial se intelege ca 1 ar fi fost termenul liber.
Iar a 2-a ecuatie are 2 scopuri, de a arata ca x poate depinde de b iar 0 nu este divizor al „termenului liber” sugerat (in acest caz 54).

Am dat deja sugestia pentru rezolvarea corecta. Iar rezolvarea completa este:
Cautam un b pentru care exista un x astfel incat ecuatia sa fie satisfacuta indiferent de a. Adica:
$\exists \left( b_0, x_0 \right ) \in \mathbb{R}^2 a.i.\;x_0^3 + a(a + 1)x_0^2 + ax_0 - a(a + b_0) - 1 = 0 \forall a \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \exists \left( b_0, x_0 \right ) \in \mathbb{R}^2 a.i.\; a^2(x_0^2-1)+a(x_0^2+x_0-b_0)+x_0^3-1=0 \forall a \in \mathbb{R} \Rightarrow (x_0^2-1) = (x_0^2+x_0-b_0) = x_0^3-1 =0$ . De aici se vede ca singura pereche ce satisface conditia este (b,x) apartine (2,1).

Integrator · Answer 8 · 2017-04-27T06:18:04+03:00

A_Cristian wrote:

De exemplu, sa se rezolve aceeasi problema pentru ecuatia:
$x^3+a^2x^2+(a-2a^2b)x+a^2b^2-4a^2+3ab-6a-27b=0$ .

Sau o ecuatie putin modificata, in care x este diferit pentru fiecare b in parte:
$x^3+a^2x^2+(a-2a^2b)x+a^2b^2-4a^2+3ab-6a+27b-54=0$ .

1. În cazul ecuatiei $x^3+a^2x^2+(a-2a^2b)x+a^2b^2-4a^2+3ab-6a-27b=0$ observăm că pentru $x=3$ rezultă $b=1$ si asta deoarece doar pentru aceste valori $x=3$ ,care nu depinde de $a$ , este un divizor al termenului liber $-3a^2-3a$ .
Sunt foarte curios să văd cum rezolvati problema în cazul acestei ecuatii propuse de Dvs….cu metoda Dvs….Multumesc! 2. În cazul ecuatiei $x^3+a^2x^2+(a-2a^2b)x+a^2b^2-4a^2+3ab-6a+27b-54=0$ observăm direct că pentru $x=0$ rezultă $b=2$ si aceste valori în mod evident nu depind de valoarea lui $a$ , iar pentru $x=3$ rezultă $b=1$ si într-adevăr $x=3$ este un divizor al termenului liber $-3a^2-3a-27$ .
Sunt foarte curios să văd cum rezolvati problema în cazul acestei ecuatii propuse de Dvs….cu metoda Dvs….Multumesc! ––––––––––––
Metoda dată de mine este mai greoaie deoarece se bazează pe observatie si deci si pe intuitie ,dar si aceasta este o metodă.
Metoda Dvs. este mult mai bună si pentru aceasta eu vă multumesc mult.
Este înteresant că în cazul ecuatiilor propuse de Dvs. rezultă valori întregi atât pentru $x$ cât si pentru $b$ si asta deoarece ,zic eu, coieficientul lui $x^3$ si coieficientii lui $a$ si $b$ si termenul liber sunt întregi.
Totodată mai observăm că deoarece ecuatiile propuse de Dvs. au termenul liber de gradul II în $b$ atunci ar rezulta două valori pentru $x$ dar care trebuie verificate în ecuatiile propuse.
În cazul problemei propuse din primul post adică problema initială, termenul liber este gradul I în $b$ si de aceea există doar o singura solutie pentru $x$ respectiv $b$ .
Cum ati rezolva Dvs. dacă ar fi vorba în problema propusă initial,de exemplu , despre ecuatia $\sqrt{3}x^3+a^2x^2+(a-2a^2b)x+a^2b^2-4a^2+3ab-6a+27b-54=0$ ?

A_Cristian · Answer 9 · 2017-05-02T19:17:52+03:00

Integrator wrote:

Ambele probleme au fost compuse de mine pe loc si am plecat invers, considerand initial polinomul in a. Astfel am potrivit coeficientii (care sunt expresii in functie de x si b) pentru a se anula pentru anumite valori ale lui b si x. E vorba de un sistem de 3 ecuatii cu 2 necunoscute.
Este evident ca metoda de rezolvare este identica cu cea spusa in postul anterior si nu are rost sa insist. Daca as avea ceva mai mult timp liber (si dupa cum v-am spus pe privat nu prea am in momentul de fata), as construi o alta ecuatie in care solutiile sa nu fie toate rationale.

Metoda cu observarea unor valori este valida atata timp cat se demonstreaza ca acele valori sunt unice. Un exemplu trivial, pentru ca timpul nu-mi permite mai mult. Sa se gaseasca solutiile ecuatie $2^x+3^x=5^x$ . Aici se observa rapid ca x=1 este solutie si mai putem construi o functie, plecand de la ecuatia initiala, care este strict monotona. De aici rezulta unicitatea solutiei.
Metoda observatiei mai merge si in cazurile concursurilor de tip grila (cum a fost cazul problemei initiale). Spun ca merge ca metoda de ghicire a unui raspuns, dar in acelasi timp afirm ca nu este o metoda de rezolvare a unei probleme. Asta pentru ca daca nu ar fi o problema tip grila, atunci ar trebui demonstrat ca nu mai sunt si alte valori ale lui b care sa fie solutie a problemei.
Un inginer/profesor este pus in situatia de creea ceva si nu de a ghici un raspuns dintr-o grila. Personal imi displace ideea de concurs de tip grila. Cel putin cand e vorba de matematica.

Integrator · Answer 10 · 2017-05-15T05:04:00+03:00

A_Cristian wrote: [quote=Integrator]
1. În cazul ecuatiei $x^3+a^2x^2+(a-2a^2b)x+a^2b^2-4a^2+3ab-6a-27b=0$ observăm că pentru $x=3$ rezultă $b=1$ si asta deoarece doar pentru aceste valori $x=3$ ,care nu depinde de $a$ , este un divizor al termenului liber $-3a^2-3a$ .
Sunt foarte curios să văd cum rezolvati problema în cazul acestei ecuatii propuse de Dvs….cu metoda Dvs….Multumesc! 2. În cazul ecuatiei $x^3+a^2x^2+(a-2a^2b)x+a^2b^2-4a^2+3ab-6a+27b-54=0$ observăm direct că pentru $x=0$ rezultă $b=2$ si aceste valori în mod evident nu depind de valoarea lui $a$ , iar pentru $x=3$ rezultă $b=1$ si într-adevăr $x=3$ este un divizor al termenului liber $-3a^2-3a-27$ .
Sunt foarte curios să văd cum rezolvati problema în cazul acestei ecuatii propuse de Dvs….cu metoda Dvs….Multumesc! ––––––––––––
Metoda dată de mine este mai greoaie deoarece se bazează pe observatie si deci si pe intuitie ,dar si aceasta este o metodă.
Metoda Dvs. este mult mai bună si pentru aceasta eu vă multumesc mult.
Este înteresant că în cazul ecuatiilor propuse de Dvs. rezultă valori întregi atât pentru $x$ cât si pentru $b$ si asta deoarece ,zic eu, coieficientul lui $x^3$ si coieficientii lui $a$ si $b$ si termenul liber sunt întregi.
Totodată mai observăm că deoarece ecuatiile propuse de Dvs. au termenul liber de gradul II în $b$ atunci ar rezulta două valori pentru $x$ dar care trebuie verificate în ecuatiile propuse.
În cazul problemei propuse din primul post adică problema initială, termenul liber este gradul I în $b$ si de aceea există doar o singura solutie pentru $x$ respectiv $b$ .
Cum ati rezolva Dvs. dacă ar fi vorba în problema propusă initial,de exemplu , despre ecuatia $\sqrt{3}x^3+a^2x^2+(a-2a^2b)x+a^2b^2-4a^2+3ab-6a+27b-54=0$ ?

Ambele probleme au fost compuse de mine pe loc si am plecat invers, considerand initial polinomul in a. Astfel am potrivit coeficientii (care sunt expresii in functie de x si b) pentru a se anula pentru anumite valori ale lui b si x. E vorba de un sistem de 3 ecuatii cu 2 necunoscute.
Este evident ca metoda de rezolvare este identica cu cea spusa in postul anterior si nu are rost sa insist. Daca as avea ceva mai mult timp liber (si dupa cum v-am spus pe privat nu prea am in momentul de fata), as construi o alta ecuatie in care solutiile sa nu fie toate rationale.

Metoda cu observarea unor valori este valida atata timp cat se demonstreaza ca acele valori sunt unice. Un exemplu trivial, pentru ca timpul nu-mi permite mai mult. Sa se gaseasca solutiile ecuatie $2^x+3^x=5^x$ . Aici se observa rapid ca x=1 este solutie si mai putem construi o functie, plecand de la ecuatia initiala, care este strict monotona. De aici rezulta unicitatea solutiei.
Metoda observatiei mai merge si in cazurile concursurilor de tip grila (cum a fost cazul problemei initiale). Spun ca merge ca metoda de ghicire a unui raspuns, dar in acelasi timp afirm ca nu este o metoda de rezolvare a unei probleme. Asta pentru ca daca nu ar fi o problema tip grila, atunci ar trebui demonstrat ca nu mai sunt si alte valori ale lui b care sa fie solutie a problemei.
Un inginer/profesor este pus in situatia de creea ceva si nu de a ghici un raspuns dintr-o grila. Personal imi displace ideea de concurs de tip grila. Cel putin cand e vorba de matematica.
Poate aveti mai mult timp acum si veti da un răspuns si pentru întrebarea:
„Cum ati rezolva Dvs. dacă ar fi vorba în problema propusă initial,de exemplu , despre ecuatia $\sqrt{3}x^3+a^2x^2+(a-2a^2b)x+a^2b^2-4a^2+3ab-6a+27b-54=0$ ?„.

A_Cristian · Answer 11 · 2017-05-15T08:30:58+03:00

Daca am fost atent la calcule, problema se reduce la a rezolva sistemul:
$\left\{\begin{matrix} (x-b)^2=4\\ x+3b=6\\ 27b-54+x^3\sqrt{3}=0 \end{matrix}\right.$
care are solutia b=2 x=0.

Pe de o parte as vrea sa inteleg scopul intrebarii. Rezolvarea aceluiasi exercitiu cu alti parametrii nu aduce nimic constructiv, atata timp cat metoda este inteleasa si insusita.

Pe de alta parte, nu mi-ati explicat cum demonstrati unicitatea solutiilor doar pe baza observatiilor.

Integrator · Answer 12 · 2017-05-16T04:37:28+03:00

A_Cristian wrote: Daca am fost atent la calcule, problema se reduce la a rezolva sistemul:
$\left\{\begin{matrix} (x-b)^2=4\\ x+3b=6\\ 27b-54+x^3\sqrt{3}=0 \end{matrix}\right.$
care are solutia b=2 x=0.

Pe de o parte as vrea sa inteleg scopul intrebarii. Rezolvarea aceluiasi exercitiu cu alti parametrii nu aduce nimic constructiv, atata timp cat metoda este inteleasa si insusita.

Pe de alta parte, nu mi-ati explicat cum demonstrati unicitatea solutiilor doar pe baza observatiilor.

Numai pentru $b=2$ avem $x=0$ ?Pentru $b=-\frac{2a^2+3a+27}{a^2}$ ,unde $a\neq 0$ ce valoare are $x$ ?Dacă $a=0$ atunci rezultă direct că ecuatia are o rădăcină reală si deci pentru orice $a\in \mathbb R$ rezultă o rădăcină reală.
Despre ce unicitate este vorba?
De altfel si în cazul problemei initiale există o solutie $x=0$ pentru
$b=-\frac{a^2+1}{a}$ ,unde $a\neq 0$ .Dacă $a=0$ atunci rezultă si în acest caz în mod direct că ecuatia are o rădăcină reală si deci pentru orice $a\in \mathbb R$ rezultă o rădăcină reală.
Despre ce unicitate este vorba?
Astept cu deosebit interes replica Dvs.!

Cu stimă,

Integrator

A_Cristian · Answer 13 · 2017-05-16T06:05:59+03:00

Integrator wrote:

Ati pierdut contextul problemei. Intrebarea era pentru ce valori ale lui b, exista un x care nu depinde de a. Asta inseamna ca b are o valoare care nu depinde de a, ceea ce nu e cazul in exemplu dat de dumneavoastra.
Nu se discuta existenta sau nu a unei radacini reale. Ea exista pentru orice a si b, pentru ca avem o functie polinomiala impara. Mai mult, pentru b=2, problema initiala admite chiar 3 solutii reale pentru anumite valori ale lui a, dar doar una nu depinde de a si anumte x=1. Asa ca de dragul de a contrazice, ati uitat care era cerinta problemei.
Sa va traduc problema in cazul in care n-ati inteles-o. Fie familia de functii: $f_{a,b}(x)=x^3+a(a+1)x^2+ax-a(a+b)-1$ . Pentru care valori fixe ale lui b, functia $f_{a,b}$ are o radacina reala care nu depinde de a?
Are $f_{a,0}$ o radacina care nu depinde de a? Dar $f_{a, \frac{\pi}{27}+e}$ ?

Integrator wrote:
Despre ce unicitate este vorba?

Cum demonstrati ca nu mai exista o alta valoare a lui b (sa zicem pi/27+e) pentru care ecuatia are o radacina care nu depinde de a?

Integrator · Answer 14 · 2017-05-16T17:12:56+03:00

A_Cristian wrote: [quote=Integrator]
Numai pentru $b=2$ avem $x=0$ ?Pentru $b=-\frac{2a^2+3a+27}{a^2}$ ,unde $a\neq 0$ ce valoare are $x$ ?Dacă $a=0$ atunci rezultă direct că ecuatia are o rădăcină reală si deci pentru orice $a\in \mathbb R$ rezultă o rădăcină reală.

Ati pierdut contextul problemei. Intrebarea era pentru ce valori ale lui b, exista un x care nu depinde de a. Asta inseamna ca b are o valoare care nu depinde de a, ceea ce nu e cazul in exemplu dat de dumneavoastra.
Nu se discuta existenta sau nu a unei radacini reale. Ea exista pentru orice a si b, pentru ca avem o functie polinomiala impara. Mai mult, pentru b=2, problema initiala admite chiar 3 solutii reale pentru anumite valori ale lui a, dar doar una nu depinde de a si anumte x=1. Asa ca de dragul de a contrazice, ati uitat care era cerinta problemei.
Sa va traduc problema in cazul in care n-ati inteles-o. Fie familia de functii: $f_{a,b}(x)=x^3+a(a+1)x^2+ax-a(a+b)-1$ . Pentru care valori fixe ale lui b, functia $f_{a,b}$ are o radacina reala care nu depinde de a?
Are $f_{a,0}$ o radacina care nu depinde de a? Dar $f_{a, \frac{\pi}{27}+e}$ ?

Integrator wrote:
Despre ce unicitate este vorba?

Cum demonstrati ca nu mai exista o alta valoare a lui b (sa zicem pi/27+e) pentru care ecuatia are o radacina care nu depinde de a?
Problema din primul post al autorului postării este:
„Pentru ce valori ale parametrului real b ecuatia:

$x^3 + a(a + 1)x^2 + ax - a(a + b) - 1 = 0$

admite o radacina independenta de a?”.
După cum vedeti problema ne cere să găsim valorile lui $b$ pentru care are o rădăcină independentă de $a$ .
Ca urmare nu scrie nicăieri în enunt că $b$ trebuie să fie o valoare fixă si deci ca atare consider că dacă termenul liber al ecuatiei îl anulăm atunci $x=0$ este o rădăcină reală care nu depinde de $a$ deoarece ecuatia devine $x^3+a(a+1)x^2+ax=0$ care evident sustine ceea ce am afirmat.
––––––––––––
În mod identic putem rationa si în cazul celorlate probleme propuse la acest subiect de Dvs. si de mine…..
––––––––––––––––––
Am să discut această problemă si cu doi profesori de matematică pe care eu îi cunosc si sunt din aceiasi localitate cu mine.
Toate cele bune!

Integrator

A_Cristian · Answer 15 · 2017-05-16T17:24:44+03:00

Integrator wrote:
„Pentru ce valori ale parametrului real b ecuatia:

$x^3 + a(a + 1)x^2 + ax - a(a + b) - 1 = 0$

admite o radacina independenta de a?”

Din pacate pentru dumneavoastra, exact asa se traduce enuntul.
„Pentru ce valori ale parametrului real b ecuatia …” este tot una cu „Daca b=1, exista vreo radacina care nu depinde de a? Dar pentru b=7? Daca nici pentru b=1 si nici pentru b=7, atunci pentru care valori ale lui b ecuatia are o radacina independenta de a?”.
In exemplul dat de dumneavoastra, b depinde de a.

Si e cazul sa punem punct aici discutiei ca nu facem decat ce am facut si alte dati, sa va arat ca interpretati gresit matematica (sau in cazul de fata enuntul).

gigelmarga · Answer 16 · 2017-05-16T18:18:53+03:00

A_Cristian wrote:
Si e cazul sa punem punct aici discutiei ca nu facem decat ce am facut si alte dati, sa va arat ca interpretati gresit matematica (sau in cazul de fata enuntul).

Cam târziu, dar e ok 🙂

Integrator · Answer 17 · 2017-05-16T19:22:58+03:00

A_Cristian wrote: [quote=Integrator]
Problema din primul post al autorului postării este:
„Pentru ce valori ale parametrului real b ecuatia:

$x^3 + a(a + 1)x^2 + ax - a(a + b) - 1 = 0$

admite o radacina independenta de a?”.
După cum vedeti problema ne cere să găsim valorile lui $b$ pentru care are o rădăcină independentă de $a$ .
Ca urmare nu scrie nicăieri în enunt că $b$ trebuie să fie o valoare fixă si deci ca atare consider că dacă termenul liber al ecuatiei îl anulăm atunci $x=0$ este o rădăcină reală care nu depinde de $a$ deoarece ecuatia devine $x^3+a(a+1)x^2+ax=0$ care evident sustine ceea ce am afirmat.
––––––––––––
În mod identic putem rationa si în cazul celorlate probleme propuse la acest subiect de Dvs. si de mine…..
––––––––––––––––––
Am să discut această problemă si cu doi profesori de matematică pe care eu îi cunosc si sunt din aceiasi localitate cu mine.
Toate cele bune!

Integrator

Din pacate pentru dumneavoastra, exact asa se traduce enuntul.
„Pentru ce valori ale parametrului real b ecuatia …” este tot una cu „Daca b=1, exista vreo radacina care nu depinde de a? Dar pentru b=7? Daca nici pentru b=1 si nici pentru b=7, atunci pentru care valori ale lui b ecuatia are o radacina independenta de a?”.
In exemplul dat de dumneavoastra, b depinde de a.

Si e cazul sa punem punct aici discutiei ca nu facem decat ce am facut si alte dati, sa va arat ca interpretati gresit matematica (sau in cazul de fata enuntul).
Există o infinitate de valori ale lui b pentru care termenul liber este egal cu zero?Dacă da,atunci care este ecuatia când termenul liber al ecuatiei initiale este egal cu zero?Eu traduc în final enuntul asa:
Problema nu cere ca b să nu depindă de a ci cere ca ecuatia să aibă o radăcină reală care să fie valabilă pentru orice valori ale lui a…ori x=0 respectă această conditie pentru orice valori ale lui a daca termenul liber se anulează si astfel rezultă o infinitate de valori reale ale lui b.Am să discut cu cei doi profesori de matematică si cu asta până atunci nu mai discut nimic….
Iar începeti cu jignirile dar uitati că Dvs. nu stiti să „interpretati” matematica chiar asa de bine …..privind de exemplu problema rezolvării inecuatiei $x^2+2ix+3<0$ unde $i^2=-1$ …..Din păcate au fost multi doctori în matematică care au spus că inecuatia $x^2+2ix+3<0$ unde $i^2=-1$ este imposibilă ,dar până la urmă s-au convins că este corectă problema după ce au analizat-o în profunzime…..Daca sunteti orgolios si vreti a considera că doar Dvs. si altii interpretati corect matematica atunci este treaba Dvs. si a celorlalti….

Integrator · Answer 18 · 2017-05-17T04:08:46+03:00

Completare:

Referitor la ecuatia propusă de autorul subiectului completez faptul că impunând ca termenul liber să fie nul rezultă de fapt că $a=-\frac{-b\mp \sqrt{b^2-4}}{2}$ si această valoare introdusă în ecuatia initială arată că $x=0$ este o rădăcină valabilă pentru orice valoare reală a lui $b$ chiar dacă există valori ale lui $b$ pentru care $b^2-4<0$ .

Integrator · Answer 19 · 2017-05-19T12:56:28+03:00

Cu unul dintre profesori căruia i-am dat problema a rezolvat-o considerând ca si mine că $b=-\frac{a^2+1}{a}$ pentru $a\neq 0$ si $x=0$ si pentru $a=0$ rezultă direct existenta unei rădăcini reale $x=1$ ….
Încerc să discut si cu cel de-al doilea profesor această problemă….
–––––––––––
Atentie problema nu cere să găsim valoarea lui $b$ astfel încât ecuatia să aibă aceiasi rădăcină reală pentru orice valoare a lui $a$ ….Dacă ar fi cerut asa ceva ,atunci evident $b=2$ .

Inregistrare

Login

Resetare parola

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

utcn/132 radacina independenta

Similare

19 raspunsuri

RaspundeAnulează răspunsul

Raspunde
Anulează răspunsul