Home/ Intrebari/Q 92111
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

paulhaiduc27
Pe: 2017-03-27T16:39:49+03:00 In: In:

izomorfism

Fie

    \[ G = (1, + \infty ) \subset R \]

si operatia

    \[ x \circ y = \sqrt {x^2 y^2 - x^2 - y^2 + 2} \]

, oricare ar fi

    \[ x,y \in G \]

.
Se cere sa se arate ca intre grupurile

    \[ (R_ + ^* , \cdot ) \]

si

    \[ (G, \circ ) \]

exista un izomorfism de grupuri \[ f] de forma

    \[ f(x) = \sqrt {x + m} \]

, unde

    \[ m \in R \]

este un parametru ce trebuie determinat.
Eu stiu conditiile de existenta ale unui izomorfism de grupuri.
Insa din

    \[ f(x \cdot y) = f(x) \circ f(y) \]

nu reusesc sa scot acel

    \[ m \]

si nici sa arat ca este izomorfism .

Similare

2 raspunsuri

  1. A_Cristian
    expert (VI)

    Intai hai sa observam ca xoy=\sqrt{(x^2-1)\cdot(y^2-1)+1}.
    Atunci avem f(x\cdot y) = f(x)of(y) \forall x,y \in \mathbb{R}_+^* \Leftrightarrow \sqrt{(x+m-1)\cdot(y+m-1)+1}= \sqrt{xy+m} \forall x,y \in \mathbb{R}_+^*\Leftrightarrow (x+m-1)\cdot(y+m-1)+1 = xy+m \forall x,y \in \mathbb{R}_+^* \Leftrightarrow (x+y)\cdot(m-1)=m-1 - (m-1)^2 \forall x,y \in \mathbb{R}_+^*
    Ghici ciuperca cine-i m?

  2. paulhaiduc27

    Ca sa scapam de x si y din acea relatie, deducem faptul ca m trebuie sa fie egal cu 1. Mai apoi, bijectivitatea functie

        \[ f(x) = \sqrt {x + 1} \]

    iese foarte usor.
    Multumesc pentru indicatie.

Raspunde

Raspunde