Inregistrati-va pentru a beneficia de cunostintele comunitatii, a pune intrebari sau a a raspunde la intrebarilor celorlalti.
Suntem o comunitate care incurajeaza educatia si in care se intalnesc know-how-ul si experienta cu perspective inovative de abordare a problemelor.
Autentificati-va pentru a pune intrebari, a raspunde la intrebarilor celorlalti sau pentru a va conecta cu prietenii.
V-ati uitat parola ? Introduceti adresa de email si veti primi o noua parola.
Please briefly explain why you feel this question should be reported.
Va rugam explicate, pe scurt, de ce credeti ca aceasta intrebare trebuie raportata.
Motivul pentru care raportezi utilizatorul.
Daca a,b,c > 0 si a+b+c=3 demonstrati ca
a^{3} / ( a+2b) + b^{3} / ( b+2c) + c^{3} / ( c+2a) >= 1
Am incercat sa amplific prima fractie cu a, a doua cu b si a treia cu c, apoi sa aplic Inegatitatea lui Titu dar am ajuns la a^2 + b^2 + c^2 >= a+ b+ c
(=) a^2 + b^2 + c^2 >= 3
si nu mai stiu cum sa continui
Ma poate ajuta cineva de aici?
Indicatie:
![\frac{a^3}{a+2b}+\frac{a+2b}{9}+\frac13 \ge 3\sqrt[3]{\frac{a^3}{27}}=a.](https://anidescoala.ro/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0fd329592a219d92abb8d378b8cca9cb_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Aplicand pentru fiecare in parte ceea ce ati spus dvs ( inegalitatea mediilor ( ma>=mg ) pentru 3 numere, nu? )
a^{3} / ( a+2b)>= a – 1/3 – ( a+2b)/9
b^{3} / (b+2c) >= b – 1/3 – ( b+2c)/9
c^{3} / ( c+2a) >= a – 1/3 – ( c+2a)/9
am adunat toate relatiile si am obtinut ca :
a^{3} / ( a+2b) + b^{3} / ( b+2c) + c^{3} / ( c+2a) >= a+b+c – 1 – 3(a+b+c)/9
(=) a^{3} / ( a+2b) + b^{3} / ( b+2c) + c^{3} / ( c+2a) >= 1
Am aplicat bine?
Pentru a-ţi finaliza demonstraţia, este suficient să invoci inegalitatea dintre media pătratică şi media aritmetică:
sau încă o dată lema lui Titu:
Multumesc pentru ambele solutii😀