Home/ Intrebari/Q 91936
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

Getatotan
Pe: 2017-01-10T17:58:08+02:00 In: In:

Inegalitate

Va rog ajutati-ma cu urmatoarea inegalitate:
\text{Daca a,b,c>0 si a+b+c=1,demonstrati:}\\ \sum \frac{a}{a^2+1}\leq \frac{9}{10}

Similare

17 raspunsuri

  1. gigelmarga
    profesor

    Precizati sursa problemei.

    (extras din regulamentul acestui forum: „3) La fiecare „solicitare de rezolvare” va trebui menţionată sursa de provenienţă a problemei. În cazul cărţilor – manuale, culegeri, etc – se va indica titlul, anul apariţiei, editura, numele unui autor şi numărul paginii. Pentru problemele din reviste precizaţi numele revistei, numărul/anul, pagina, autorul problemei. În alte (mult mai rare) situaţii, veţi da suficiente detalii asupra împrejurării în care v-aţi întâlnit cu acea problemă.”)

  2. Getatotan

    Am gasit-o pe brainly.Nu stiu de unde a luat-o persoana care a postat-o!
    Totusi puteti sa ma ajutati?

  4. gigelmarga
    profesor

    Getatotan wrote: Am gasit-o pe brainly.Nu stiu de unde a luat-o persoana care a postat-o!
    Totusi puteti sa ma ajutati?

    Asteptati răspunsul tot acolo.

  5. Getatotan

    Off…

  6. gunty
    maestru (V)

    Frumoasa inegalitate! Am atasat demonstratia.

    Attached files

  8. Getatotan

    Multumesc mult domnu Garfield! Foarta frumoasa rezolvarea:D

  9. gunty
    maestru (V)

    Getatotan wrote: Multumesc mult domnu Garfield! Foarta frumoasa rezolvarea:D

    Respect 😉

  10. Getatotan

    Gunty,am si eu o mica intrebare: Demonstratia ai scris-o chiar tu sau ai copiat-o de pe brainly? Am vazut ca o raspuns cineva acolo si sper ca nu ai copiat de la el??? (sau el de la tine)

  12. gigelmarga
    profesor

    Getatotan wrote: Gunty,am si eu o mica intrebare: Demonstratia ai scris-o chiar tu sau ai copiat-o de pe brainly? Am vazut ca o raspuns cineva acolo si sper ca nu ai copiat de la el??? (sau el de la tine)

    Ei, gunty, credeai că-ti merge? Ce dacă ai fost unul dintre cei mai buni olimpici la matematică? Te-a ghicit getatotan !

    L.E. Poate editezi postarea cu „Respect!” 🙂

  13. Getatotan

    Gigele,deci tu ai scris demonstratia aia pe brainly? Dar noi ce facem aici copiem unul de la altul? Si nu stiu cum se face ca ati postat amandoi in aceeasi ora rezolvarea(si pe brainly si pe forum) .Deci care de la care ati copiat?

  14. gigelmarga
    profesor

    Getatotan wrote: Gigele,deci tu ai scris demonstratia aia pe brainly? Dar noi ce facem aici copiem unul de la altul? Si nu stiu cum se face ca ati postat amandoi in aceeasi ora rezolvarea(si pe brainly si pe forum) .Deci care de la care ati copiat?

    Se pare că nu te-ai prins de ironie…de fapt, nici nu mă asteptam.
    Un sfat: după semnele de punctuatie se lasă un spatiu (nu înainte!)

  16. Getatotan

    Nu inteleg,deci pana la urma cine a scris demonstratia? Si ala de pe brainly si gunty au exact aceeasi demonstratie!

  17. gigelmarga
    profesor

    În altă ordine de idei, cum se ajunge la inegalitate?
    Sigur că observăm usor că egalitatea are loc dacă a=b=c=1/3.

    De aceea, considerând functia f(x)=\frac{x}{x^2+1}, x\in (0,1) căutăm o inegalitate de tipul f(x)\le mx+n , astfel ca, prin adunare să obtinem ceea ce dorim. Concret, ar trebui ca m+3n\le \frac{9}{10}. Să observăm (vezi desenul)

    că pe (0,1) functia e concavă, si cum ne interesează comportarea în jurul punctului x=1/3, considerăm tangenta la grafic în acest punct.

    Ecuatia tangentei y=f'(1/3)(x-1/3)+f(1/3) devine y=\frac{18}{25}\left(x-\frac13\right)+\frac{3}{10}, de unde

    \frac{x}{x^2+1}\le \frac{18}{25}x+\frac{3}{50}, ceea ce explică acea \frac{a}{a^2+1}\le \frac{3+36a}{50}.

    Adunând, avem
    \frac{a}{a^2+1}+\frac{b}{b^2+1}+\frac{c}{c^2+1}\le \frac{18}{25}(a+b+c)+\frac{9}{50}=\frac{18}{25}+\frac{9}{50}=\frac{9}{10}.

  18. Getatotan

    Nu am inteles mai nimic, dar multumesc oricum ! Nu stiu ce parte din :”nu am invatat de drepte de ecuatie sau derivate sau mai stiu eu ce ” nu intelegeti?

  20. gunty
    maestru (V)

    🙂) eu am pus-o si pe brainly…ma gandeam sa aiba solutia si cel care a intrebat acolo

  21. ghioknt
    profesor

    Getatotan wrote: Nu am inteles mai nimic, dar multumesc oricum ! Nu stiu ce parte din :”nu am invatat de drepte de ecuatie sau derivate sau mai stiu eu ce ” nu intelegeti?

    Cea mai naturală demonstraţie mi se pare cea care speculează concavitatea funcţiei f(x)=\frac{x}{1+x^2}
    pe intervalul [0; 1] din care fac parte numerele a, b, c. Concret, dacă o funcţie f este concavă pe un interval, atunci oricare ar fi
    a, b, c din acel interval are loc \frac{f(a)+f(b)+f(c)}{3}\leq f(\frac{a+b+c}{3}).
    Cum a+b+c=1 si 3f(1/3)=9/10 inegalitatea este dovedită.
    Problema este: cum poate un elev care nu beneficiază de studiul funcţiilor cu ajutorul derivatelor să beneficieze totuşi de inegalitatea
    de mai sus, zisă a lui Jensen? Răspunsul ar putea fi dat de următoarea propoziţie:
    Daca\;\forall a,b\in I:\;\frac{f(a)+f(b)}{2}\leq f(\frac{a+b}{2}),\;atunci\;pentru\;orice\;n\geq 2\;si\;pentru\;\\oricare\;x_1,x_2,\;...\;x_n\;din \;I:\;\frac{f(x_1)+f(x_2)+...+f(x_n)}{n}\leq f(\frac{x_1+x_2+...+x_n}{n}).
    A demonstra premisa acestei propoziţii nu este prea simplu. În cazul acestei funcţii însă, dupa oareşice calcule,
    \frac{f(a)+f(b)}{2}\leq f(\frac{a+b}{2})\Leftrightarrow (a+b)(a-b)^2(3-ab)\geq 0,
    inegalitate adevărată pentru a, b pozitive, cu produsul nu mai mare ca 3, adică f este concavă (Jensen) pe intervalul [0;\sqrt{3}].

  22. Getatotan

    @Ghioknt :multumesc pentru demomstratie? Cred ca o sa ma apuc sa invat singur derivatele ca astfel n-am incotro.
    @Gunty: eram sigur ca tu esti ala.Dar cum adica:”dau meditatii in cluj”, daca tu locuiesti in Sighetu Marmatiei????

Raspunde

Raspunde