Home/ Intrebari/Q 91088
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

mateus560276
user (0)
Pe: 2016-03-03T17:11:09+02:00 In: In:

Limite (trigonometrie, parametrii)

Buna seara! Nu reusesc sa rezolv urmatoarea limita:

\lim_{x \rightarrow 0} (\frac{1 + sin(x)}{1+xcos(x)})^{\frac{1}{x}}

Ideea este sa scriu ce este in parenteze sub forma (1+ ceva) dar forma evidenta:

1 + \frac{sin(x) - xcos(x)}{1 + xcos(x)}

nu pare sa ajute (limita obtinuta e si mai complicata).

Similare

5 raspunsuri

  1. MaTe1997
    user (0)

    E bine.Faci procedeul in continuare si o sa ai e la puterea limita(sinx-xcosx)/x(1+cosx).imparti distributiv si o sa obtii remarcabila sinx/x si in final vei obtine e^0,deci raspunsul final este 1.

    • 0
  2. mateus560276
    user (0)

    Multumesc pentru observatie, acum am vazut si l-am rezolvat in 5 minute, nu stiu cum de nu mi-am dat seama mai devreme cat de simplu era.

    Ca sa nu mai deschid un topic nou, postez tot aici cateva exercitii la care am cateva nelamuriri:

    1) Sa se determine parametrii reali pentru care au loc egalitatile:
    \lim_{x \rightarrow 1} \frac{ax^{3} + bx^{2}+3 }{(x-1)^{2}} \in R*

    Indicatia de la raspuns este sa plec de la urmatoarea remarca:

    a+b+3 = 0

    banuiesc ca inlocuind x cu 1, dar nu stiu de ce trebuie ca suma a fie egala cu 0 – ceva legat de disparitia termenilor la puterea a 3-a si a 2-a?

    2) \lim_{x \rightarrow \infty } (\sqrt{x^{2}-x+1} -ax +b = 0)

    Prelucrand limita ajung la:
    \lim_{x \rightarrow \infty } \frac{x^{2}(1-a^{2})+x(2ab-1)+1-b^{2}}{ \sqrt{x^{2}-x+1}+ax-b }

    Aici intuiesc ca trebuie sa dispara termenii cu x, deci
    1-a^{2} = 0
    si
    2ab - 1 = 0

    Dar rezolvand aceste ecuatii obtin a = \pm 1

    Dar in cazul a = -1, la numitor apare nedeterminarea
    0 * \infty

    Trebuie pusa in plus conditia 1 + a \neq 0 sau imi scapa ceva?

    • 0
  4. ghioknt
    profesor

    1. Dacă limita numărătorului nu este 0, atunci limita cerută este infinită (c/(+0)=+oo sau -oo). Deci este obligatoriu să avem
    a+b+3=0, adică 3=-a-b, şi fracţia devine
    \frac{a(x^3-1)+b(x^2-1)}{(x-1)^2}=\frac{a(x^2+x+1)+b(x+1)}{x-1} şi, din motive asemănătoare,
    limita acestui numărător trebuie să fie tot 0: 3a+2b=0. Sistemul dă a=6, b=-9, fracţia devine
    \frac{6x^2-3x-3}{x-1}=\frac{3(x-1)(2x+1)}{x-1}=3(2x+1), cu limita 9.

    2.Ia-o mai încet cu prelucrarea. Mai întâi
    \lim_{x\to \infty }(\sqrt{x^2-x+1}-ax+b)=\lim_{x\to \infty }x(\sqrt{1-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}-a+\frac{b}{x})=\infty (1-a).
    Pentru ca limita să nu fie infinită, trebuie să avem a=1. Abia acum ajungi la
    \lim_{x\to \infty }\frac{(2b-1)x+1-b^2}{\sqrt{x^2-x+1}+x-b}
    care este 0 numai dacă b=1/2.

    • 0
  5. mateus560276
    user (0)

    Multumesc mult pentru clarificare!

    • 0
  6. ghioknt
    profesor

    Şi eu sper să-ţi fi folosit cele scrise de mine 😀

    • 0
Raspunde

Raspunde