Home/ Intrebari/Q 91052
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

andrei1397
user (0)
Pe: 2016-02-24T15:35:33+02:00 In: In:

Matrice

Daca A= \begin{pmatrix} 2 &1 \\ -3 &-1 \end{pmatrix} . Sa se calculeze A+A^{2}+A^{3}+....+A^{2006} .

Am observat ca A^{4}=-A, A^{5}=-A^{2}, A^{6}=-A^{3}, A^{7}=A, A^{8}=A^{2}, A^{9}=A^{3} etc…

Spuneti-mi va rog cat mai explicit cum pot sa calculez suma.

Similare

1 raspuns

  1. PhantomR
    expert (VI)

    Din Teorema Cayley-Hamilton: A^2-A+I_2=0. Inmultind la stanga cu (A+I_2) obtinem A^3+I_2=0 \Leftrightarrow A^3=-I_2 (se poate obtine si prin calcul direct).

    Sincer sa fiu, ideea mi-a venit citind ce ati scris dumneavoastra. Avem A+A^2+...+A^6 = 0 si atunci, grupand cate 6 termenii (intre urmatorii sase dam factor comun A^5 si tot asa. Deoarece penultimul multiplu de sase de dinainte de 2006 este 2004, obtinem ca suma este A^{2005}+A^{2006}. Cum A^{2004}=(A^3)^{668}=I_2, avem ca suma este S=A+A^2=A+(A-I_2)=2A-I_2=\left(\begin{matrix} 3 & 2 \\ -6 & -3 \end{matrix}\right).

    • 0
Raspunde

Raspunde