Buna ziua!
Sa se studieze monotonia sirurilor date prin relatiile de recurenta:(Am facut 2 din 3 dar nu stiu daca le-am rezolvat corect )
a) a1=1
a(n+1)=an+2 , n>=1
Am aplicat a(n+1)-an = 2 > 0 => an sir strict crescator ( E bine asa ? La sfarsitul cartii zice ca an=2n-1 , adica trebuia sa-l aflu pe an ? )
b) a1=1/4
a(n+1)=5an , n>=1
Am aplicat [a(n+1)]/an = 5 > 0 => sir strict crescator
c) a1=1
a(n+1)=sqrt(1+an) , n>=1 Asta nu l-am stiut.Cred ca se face prin inductie.
Dar n-am inteles cerinta , adica eu trebuie sa demonstrez cum e sirul sau sa-l aflu pe an ?
a(n+1) = a indice n+1 , la fel si an
a) Conf relatiei de recurenta avem;
A(n+1)=An+2
An=A(n-1)+2
A(n-1)=A(n-3)+2
……………………
A3=A2+2
A2=A1+2
A1=1 Adunam toate aceste relatii si vom avea ;
………………………
A(n+1)=2.n+1sau An=2.n-1 , de unde sirul este crescator si tinde la infinit
b)
A(n+1)=5.An
An=5A(n-1
A(n-1)=5A(n-2)
……………….
A3=5A2
A2=5A1
A1=1/4 Inmultim toate aceste relatii si vom avea;’
A(n+1)=5^n/4 sau An=5^(n-1)/4 sirul este crescatoir si tinde la infinit
C)Conf relatie de recurenta vom porni de la ;
A2=sqrt(1+1)=sqrt(2)
A3=sqrt(1+A2)=sqrt(1+sqrt(2))
A4=sqrt(1+A3)=sqrt(1+sqrt(1+sqrt(2))) Se poat arata ca, A1=1<A2=sqrt(2)
<A3=sqrt(1+sqrt)2)) s.a.m.d.Cand n->infinit vom considera ca An=A(n-1)=l
si conf relatie de recurentA avm ;l=sQRT(1+l) sau l^2-l-1=0->l=(1+sqrt(5))/2 deci sirul este crescator si tinde la (1+sqrt(5))/2.
OBS monotonia la a) si la b)a facut-o f bne trebuia .poate sa precizezi si spre ce tin sirurile