Buna seara!
1) Aratati ca pentru orice functie continua f:R->R care are proprieteatea ca f(x+y) = f(x)+ f(y) oricare ar fi x,y apartine R exista a apartine R astfel incat f(x) = a*x;
Am aratat ca f(0) = 0 si ca f(-x) = -f(x) deci este suficient ca determin f(x) pentru x>=0, dar nu stiu cum ar trebui sa folosesc faptul ca functia e continua sau ce sa presupun in continuare.
2) Fie f,g:R-> R doua functii care coincid pe Q astfel incat f este continua si g este monotona. Aratati ca f si g coincid pe R.
M-am gandit in felul urmator: Fie doua siruri q si p. Arat ca sunt convergente catre un numar irational. Ele au limita x apartine R\Q Cum limita functiei este egala cu functia limitei atunci f(x) = g(x). Este corect rationamentul?
Buna seara,
Pentru prima problema, ecuatia data poarta numele de Ecuatia functionala Cauchy. Puteti gasi aici
o demonstratie ca
(este nevoie si de cele doua afirmatii pe care le-ati demonstrat si dumneavoastra).
Sa notam
. Fie
arbitrar si fie
un sir de numere rationale care converge la
. Atunci
. Trecand la limita, deoarece
e continua avem
. Cum
a fost ales arbitrar,
si sa observam ca functia gasita verifica intr-adevar ecuatia functionala.
2. Fie
. Exista un sir crescator de numere rationale
care tinde la
si unul descrescator
care tinde la
. Pentru primul avem
, iar pentru al doilea
.
.
Deci
Stim ca o functie monotona are limite la stanga si la dreapta in orice punct din domeniul de definitie.
, deci, trecand la limita,
, adica
,
fiind continua. Rationand analog pentru
avem
. Deci
.
Avem
Sa presupunem ca
e crescatoare (pentru
descrescatoare, inegalitatea urmatoare este invers, iar concluzia se pastreaza). Avem
. Trecand la limita si folosind
obtinem
, adica
.
Cum
a fost ales arbitrar din
, deducem
.
1. Se poate arata ca f(mx)=mf(x) pt orice m natural. Fie f(1)=a. De aici putem arata imediat ca f(x)=a*x pt orice x din Q. Mai departe te folosesti de continuitate pentru a arata ca f(x)=a*x pt orice x.
2. Cum g nu este continua, nu poti trece la limita.
Poti demonstra insa urmatoarele:
a. f este mononta.
b. g este continua.
Va multumesc pentru ajutor!
Cu drag!😀
Ca o precizare, pentru problema doi sirurile
si
nu trebuie neaparat alese monotone, ci e suficient ca primul sa aiba termenii mai mici ca limita (
), iar al doilea mai mari si demonstratia ramane la fel. Se poate insa arata ca daca un sir are toti termenii mai mici ca limita, atunci termenii sai pot fi rearanjati in alt sir care sa fie crescator, iar daca toti termenii sunt mai mari, se poate rearanja sirul intr-unul descrescator.