Home/ Intrebari/Q 90908
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

ClaudiuC
Pe: 2016-01-16T20:44:51+02:00 In: In:

Problema vectori

Fie ABC un triunghi si a=BA ; b=BC (vectori). Pe laturile AB, AC si BC se considera punctele M,N,P a.i. MA/MB = – 1/3 ; NC/NA = – 2/3; PC/PB = 2/9.
a) Sa se exprime BN (vector) in functie de a si b (vectori)
b)Sa se exprime BN (vector) in functie de BM si BP (vectori)
c) Sa se arate ca M,N,P sunt coliniare.

Multumesc anticipat !!!

Similare

2 raspunsuri

  1. adrianS

    a)Prelungim BN cu o distanta NT=BN si astfel se formeaza paralelogramul ABCT.
    Insumand vectorii \overline{a}si\overline{b} dupa regula paralelogramului gasim ca:
    {\overline{BN}=\dfrac{(\overline{a}+\overline{b})}{2}
    b)Scriem ca:
    \overline{MB}=\dfrac{3\overline{a}}{4}\\ \overline{BP}=\dfrac{9\overline{b}}{7}
    de aici \overline{a}=\dfrac{4\overline{MB}}{3}\\ \overline{b}=\dfrac{7\overline{BP}}{9}
    Inlocuind rezulta ca:
    \overline{BN}=\dfrac{12\overline{MB}+7\overline{BP}}{18}
    c)Colinearitatea se poate demonstra in mai multe feluri:unul din fel este de a demonstra ca
    \overline{MN}+\overline{NC}=\overline{MP}
    Demonstrarea acestei relatii se poate face exprimand acesti vectori in functie de vectorii a,b si c.

  2. ghioknt
    profesor

    Primele 2 rapoarte au valori negative; asta înseamnă că este vorba de rapoarte de segmente orientate şi că punctele M şi N
    chiar aparţin laturilor respective. În schimb, al treilea raport fiind pozitiv, deducem că punctul P nu se află pe latura [BC],
    ci pe dreapta BC.
    Scriind vectorial cele trei relaţii, obţinem, pe rând.
    \vec{NC}=-\frac{2}{3}\vec{NA}\;sau\;3\vec{NC}+2\vec{NA}=\vec{0}, din care, aplicand P6 -> p7 de aici:
    http://forum.matematic.ro/viewtopic.php?t=33516
    3\vec{BC}+2\vec{BA}=(3+2)\vec{BN},\;\vec{BN}=\frac{2}{5}\vec{a}+\frac{3}{5}\vec{b}.
    3\vec{MA}+\vec{MB}=\vec{0}\Rightarrow 3\vec{BA}+\vec{BB}=(3+1)\vec{BM}\Rightarrow \vec{a}=\frac{4}{3}\vec{BM}\\9\vec{PC}-2\vec{PB}=\vec{0}\Rightarrow 9\vec{BC}-2\vec{BB}=(9-2)\vec{BP}\Rightarrow \vec{b}=\frac{7}{9}\vec{BP}\\din\;care\;\vec{BN}=\frac{8}{15}\vec{BM}+\frac{7}{15}\vec{BP}.
    Pentru că în relaţia precedentă suma ceficienţilor 8/15+7/15 este 1, deducem, cf. P4, că M, N şi P sunt coliniare.
    Coliniaritatea mai rezultă şi din reciproca teoremei lui Menelaos.

Raspunde

Raspunde