Home/ Intrebari/Q 90585
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

invatacel123
user (0)
Pe: 2015-11-01T10:59:27+02:00 In: In:

punct de acumulare

Fie A inclus in R,nevida.Sa se arate ca punctul x0 apartine lui R bara este pct de acumulare pt A <=> exista un sir xn,unde xn apartine lui A fara x0, cu proprietatea lim xn=x0

Similare

3 raspunsuri

  1. ghioknt
    profesor

    Scrie tu ce înseamnă afirmaţiile ”x_0 este punct de acumulare pentru mulţimea A” şi ”\lim x_n=x_0”
    şi eu voi broda o demonstraţie a echivalenţei respective, dacă mai este nevoie.

    • 0
  2. invatacel123
    user (0)

    ghioknt wrote: Scrie tu ce înseamnă afirmaţiile ”x_0 este punct de acumulare pentru mulţimea A” şi ”\lim x_n=x_0”
    şi eu voi broda o demonstraţie a echivalenţei respective, dacă mai este nevoie.


    X0 pct de acumulare pentru A,inseamna ca pentru orice vecinatate a lui x0,multimea A intersectata cu vecinatatea lui x0 fara acesta este nevida.
    Lim xn=x0 inseamna ca pt orice epsilon mai mare decat 0,exista un rang epsilon,oricare ar fi un n>=rangul lui epsilon a.i. |xn-x0|<epsilon.

    • 0
  4. ghioknt
    profesor

    Definiţia punctului de acumulare este bună şi, mai mult, este valabilă şi pentru punctele de acumulare finite, şi pentru
    + sau -inf.
    Cealaltă definiţie evidenţiază nişte confuzii pe care le faci; \epsilon este un număr real pozitiv, în timp ce rangul este
    un număr natural, acela pe care îl folosim ca indice al unui termen al şirului.
    \lim x_n=x_0\in \overline{\mathbb{R}} înseamnă că pentru orice vecinătate V a lui x_0 există un rang n_1 a. î.
    \forall n\geq n_1:\;a_n\in V.
    In particular, dacă limita x_0 este finită, vecinătatea poate fi de forma V=(x_0-\epsilon;x_0+\epsilon), rangul n_1 va depinde de eps.,
    iar x_n\in V\;devine\;|x_n-x_0|<\epsilon.
    Fie afirmaţiile a)x_0 este punct de acumulare pentru A; b) există un şir (x_n)\;cu\;toti\;x_n\in A\setminus \left \{ x_0 \right \}\;a.i.\;\lim x_n=x_0.
    b) => a): în orice vecinătate V a limitei x_0 există termeni ai şirului, adică elenente din A\setminus \left \{ x_0 \right \},deci x_0 este
    punct de acumulare al lui A.
    a) => b): în orice vecinătate V_n=(x_0-\frac{1}{n};x_0+\frac{1}{n}), n\in \mathbb{N}^*\;iau\;x_n\in A\setminus \left \{ x_0 \right \};
    am obţinut un şir (x_n) cu toţi termenii în A\setminus \{x_0\} şi cu proprietatea \forall n\geq 1:\;|x_n-x_0|<\frac{1}{n}
    suficient pentru a spune că şirul astfel construit are limita x_0.
    Dacă punctul de acumulare este +oo, poţi lua vecinătăţi V_n=(n; +oo), pentru -oo, V_n=(-oo; -n); vei obţine şiruri
    cu proprietatea x_n>n, respectiv, x_n<-n, care au limitele +oo, respectiv, -oo.

    • 0
Raspunde

Raspunde