Home/ Intrebari/Q 90438
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

cristinat
Pe: 2015-10-10T15:53:25+03:00 In: In:

ecuatie matriceala

Sa se rezolve ecuatia matriceala : X^2 + 2X = ( 2 2 pe prima linie si 1 1 pe a doua linie )

Similare

7 raspunsuri

  1. ghioknt
    profesor

    Iată, pe scurt, o posibilă soluţie pentru ecuaţia X^2+2X=A.
    Este evident că o matrice X care verifică ecuaţia comută cu membrul I: X(X^2+2X)=(X^2+2X)X, deci trebuie să
    comute şi cu membrul II: XA=AX. Dar o matrce X comută cu o matrice dată A de ordinul 2, dacă şi numai dacă este de forma
    X=xA+yI_2 cu x, y numere reale sau complexe (din enunţul tău nu se ştie), dacă A\neq aI_2.
    (xA+yI_2)^2+2(xA+yI_2)=A\Leftrightarrow (3x^2+2xy+2x-1)A= (-y^2-2y)I_2.
    Egalitatea matricelor implică egalitatea determinanţilor: (3x^2+2xy+2x-1)^2det A= (-y^2-2y)^2det I_2.
    Cum detA=0 şi detI_2=1, deducem y^2+2y=0, \;y_1=0,\;y_2=-2.
    Pentru y=0 trebuie să avem (3x^2+2x-1)A=O_2,\;3x^2+2x-1=0;\;x_1=-1,\;x_2=\frac{1}{3}.
    Avem deci soluţiile X_1=-A,\;X_2=\frac{1}{3}A.
    Pentru y=-2 ajungem la 3x^2-2x-1=0, x_3=1,\;x_4=-\frac{1}{3} şi la soluţiile
    X_3=A-2I_2,\;X_4=-\frac{1}{3}A-2I_2.

  2. ghioknt
    profesor

    Scuze pentru erorile de calcul. De exemplu, avem relaţia A^2=3A; ori eu, atunci când am calculat (xA+yI_2)^2, nu am scris
    nici A^2, nici 3A, ci A. Revin şi corectez postarea de mai sus.
    Acolo unde scrie |A| şi |I|_2 eu am vrut să apară det(A) şi det(I_2), dar Latex-ul asta are şi el apucăturile lui, care combinate
    cu neştiinţa mea …

  4. cristinat

    ghioknt wrote: Scuze pentru erorile de calcul. De exemplu, avem relaţia A^2=3A; ori eu, atunci când am calculat (xA+yI_2)^2, nu am scris
    nici A^2, nici 3A, ci A. Revin şi corectez postarea de mai sus.

    va multumesc! Dar cu ecuatia caracteristica cum s-ar face problema?

  5. ghioknt
    profesor

    Mai exact, ecuaţia Cayley-Hamilton, spune că pentru orice matrice pătratică de ordinul 2:
    X^2=tX-\Delta I_2,\;unde;t=a+d,\;\Delta =ad-bc sunt urma, respectiv deteminantul matricei X.
    Ecuaţia de rezolvat devine (t+2)X=A+\Delta I_2.
    Numărul t+2 nu poate fi 0, deci putem împărţi cu el şi ajungem la concluzia că trebuie să căutăm o matrice X de forma
    X=xA+yI_2, rezultat obţinut şi din specularea faptului că X trebuie să comute cu A.
    Avantajul este că, pentru a incheia problema, trebuie să determinăm 2 parametri, numerele x şi y, în loc de cele 4 elemente
    ale matricei X pe care am fi nevoiţi să le aflăm, dacă am aborda problema ”muncitoreşte”.

  6. cristinat

    ghioknt wrote: Mai exact, ecuaţia Cauchy-Hamilton, spune că pentru orice matrice pătratică de ordinul 2:
    X^2=tX-\Delta I_2,\;unde;t=a+d,\;\Delta =ad-bc sunt urma, respectiv deteminantul matricei X.
    Ecuaţia de rezolvat devine (t+2)X=A+\Delta I_2.
    Numărul t+2 nu poate fi 0, deci putem împărţi cu el şi ajungem la concluzia că trebuie să căutăm o matrice X de forma
    X=xA+yI_2, rezultat obţinut şi din specularea faptului că X trebuie să comute cu A.
    Avantajul este că, pentru a incheia problema, trebuie să determinăm 2 parametri, numerele x şi y, în loc de cele 4 elemente
    ale matricei X pe care am fi nevoiţi să le aflăm, dacă am aborda problema ”muncitoreşte”.

    Va multumesc mult! Am inteles acum

  8. cristinat

    ghioknt wrote: Mai exact, ecuaţia Cayley-Hamilton, spune că pentru orice matrice pătratică de ordinul 2:
    X^2=tX-\Delta I_2,\;unde;t=a+d,\;\Delta =ad-bc sunt urma, respectiv deteminantul matricei X.
    Ecuaţia de rezolvat devine (t+2)X=A+\Delta I_2.
    Numărul t+2 nu poate fi 0, deci putem împărţi cu el şi ajungem la concluzia că trebuie să căutăm o matrice X de forma
    X=xA+yI_2, rezultat obţinut şi din specularea faptului că X trebuie să comute cu A.
    Avantajul este că, pentru a incheia problema, trebuie să determinăm 2 parametri, numerele x şi y, în loc de cele 4 elemente
    ale matricei X pe care am fi nevoiţi să le aflăm, dacă am aborda problema ”muncitoreşte”.

    aici daca facem cu ecuatia caracteristica ajungem la X=xA + yI_2 si apoi???

  9. ghioknt
    profesor

    Apoi, restul rezolvării apare în prima postare.
    Ai scris şi verificat cele 4 soluţii găsite de mine? Am obiceiul să nu fiu prea atent la calcule.

Raspunde

Raspunde