Home/ Intrebari/Q 90343
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

adrianS
Pe: 2015-09-25T08:18:10+03:00 In: In:

sistem

Problema:Sa se determine x,y,z daca avem:
x+y+z=6
xy+xz+yz=12.
Din GM Gfheorghe Parancea Moeciu Brasov
Ma gandesc ca ar fi cva in legatura cu relatiile lui Viete dar nu se precizeaza xyz?

Similare

3 raspunsuri

  1. DD
    profesor

    Pentru ca avem2 ec cu 3 necunoscute,una din necunoscute o vom considera ca
    parametru (fie z=m)si avem; x+y=6-m si xy=12-m(x+y)=12-m(6-m)=m^2-6m+12. Fie x si y radacinile ec. t^2-(6-m).t+m^2-6m+12=0. Pentru radacini reale , trebuie ca (6-m)^2–4(m^2-6m+12)>=0 sau ;36-12m+m^2-
    4m^2+24m-48=-3m^2+12m-12>=0 sau m^2-4m+4<=0->(m-2)^2<=0..
    Cum (m-2)^2>=0 , cazul posibil este m=2=z si t^2-4t+4=0 sau t1=t2=x=y=2.
    Rezulta ca unica solutie realaa ec, date este; x=y=z=2

  2. adrianS

    Multumesc!
    Nu mi-ar fi dat prin gand! 😛

  4. edy8
    maestru (V)

    adrianS wrote: Problema:Sa se determine x,y,z daca avem:
    x+y+z=6
    xy+xz+yz=12.
    Din GM Gfheorghe Parancea Moeciu Brasov
    Ma gandesc ca ar fi cva in legatura cu relatiile lui Viete dar nu se precizeaza xyz?

    \it \bl \scriptsize{x+y+z=6 (1) \\\;\\ \\ \\ xy+yz+zx=12 (2) \\\;\\ \\ \\ (1) \Longrightarrow (x+y+z)^2 =6^2 \Longrightarrow x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx) = 36 (3) \\\;\\ \\ \\ (2), (3) \Longrightarrow x^2+y^2+z^2+2\cdot 12 = 36 \Longrightarrow x^2+y^2+z^2=12 (4) \\\;\\ \\ \\ (2), (4) \Longrightarrow x^2+y^2+z^2 = xy+yz+zx \\\;\\ \\ \\ Se inmulteste ultima egalitate cu 2 si, dupa cateva calcule, se obtine: \\\;\\ \\ \\ (x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2 = 0 \Longrightarrow x = y = z (5) \\\;\\ \\\;\\ (1), (5) \Longrightarrow x = y = z = 2.}

Raspunde

Raspunde