Home/ Intrebari/Q 90148
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

matex
Pe: 2015-07-29T14:34:36+03:00 In: In:

problema algebra

Se considera M multimea numerelor naturale nenule, care nu au cifra 9 in scrierea lor in baza 10. Sa se arate ca , pentru orice n apartinand lui N diferit de 0 si pentru orice r1<r2<…<rn apartinand lui M avem:
1/r1 + 1/r2 + … +1/rn <80.
Ma poate ajuta cineva cu rezolvarea. Va multumesc.

Similare

2 raspunsuri

  1. SDoIT

    Daca luam toate fractiile cu numaratorul 1 si numitorul numar natural care nu contine cifra 9 (o infinitate de fractii) si le adunam, avem seria

    \sum_{9\notin x}^{ }\frac{1}{x}= 1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{8}+\frac{1}{10}+\frac{1}{11}+...+\frac{1}{88}+...+\frac{1}{10^{k}}+...+\frac{1}{888...8}+...

    Daca ne uitam la fractiile avind numitorul format dintr-o singura cifra, observam:
    1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{8}< 1+1+...+1=8

    Apoi fractiile avind numitorul de doua cifre:
    \frac{1}{10}+\frac{1}{11}+...+\frac{1}{88}< \frac{1}{10}+\frac{1}{10}+...+\frac{1}{10}=8\cdot 9\cdot \frac{1}{10}

    Cele avind numitorul de k+1 cifre:
    \frac{1}{10^{k}}+\frac{1}{10^{k}+1}+...+\frac{1}{888...8}< \frac{1}{10^{k}}+\frac{1}{10^{k}}+...+\frac{1}{10^{k}}=8\cdot 9^{k}\cdot \frac{1}{10^{k}}

    Si tot asa…

    Adunind inegalitatile, obtinem:

    \sum_{9\notin x}^{ }\frac{1}{x}\leq 8\cdot \sum_{k=0}^{\infty }\left ( \frac{9}{10} \right )^{k}=8\cdot \frac{1}{1-\frac{9}{10}}=80

    (Seria \sum_{k=0}^{\infty }\left ( \frac{9}{10} \right )^{k} este convergenta, deoarece \frac{9}{10}< 1)

    Asadar chiar considerind toate aceste fractii (o infinitate), suma lor nu poate depasi 80.

    Obs.1. Seria \sum_{9\notin x}^{ }\frac{1}{x} se numeste serie Kempner si suma ei este aproximativ 22.92067

    Obs.2. Cred ca problema ar trebui mutata de la „Simboluri matematice”

  2. matex

    Multumesc pentru rezolvare.A fost superba, chiar nu stiam de aceasta serie. Asa este chiar trebuie mutata.

Raspunde

Raspunde