Home/ Intrebari/Q 90128
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

RevnicRobert
user (0)
Pe: 2015-07-21T05:26:39+03:00 In: In:

Limite cu sume de combinari

    \[{\lim }\limits_{n \to \infty } \sum\limits_{k = 0}^n {\frac{{C_n^k}}{{n{2^n} + k}}} = \]

    \[{\lim }\limits_{n \to \infty } \sum\limits_{k = 0}^n {\frac{{kC_n^k}}{{n{2^n} + k}}} = \]

    \[{\lim }\limits_{n \to \infty } \sum\limits_{k = 0}^n {\frac{{C_n^k}}{{k{2^n} + n}}} = \]

    \[{\lim }\limits_{n \to \infty } \sum\limits_{k = 0}^n {\frac{{kC_n^k}}{{k{2^n} + n}}} = \]

Limitele sunt în cadrul aceluiasi exercitiu,deci bănuiesc că se fac cam la fel…
Îmi puteti da o idee de rezolvare,vă rog? 😕

Similare

3 raspunsuri

  1. PhantomR
    expert (VI)

    Pentru prima, fie s_n=\sum_{k=0}^n \frac{C_n^k}{n2^n+k}. Avem 0<s_n\leq \sum_{k=0}^n \frac{C_n^k}{n2^n} = \frac{1}{n2^n} \sum_{k=0}^n C_n^k = \frac{1}{n2^n} \cdot 2^n = \frac{1}{n} \to 0. Deci s_n\to 0.

    Pentru a doua, notam s_n=\sum_{k=0}^n\frac{kC_n^k}{n2^n+k}=\sum_{k=1}^n \frac{kC_n^k}{n2^n+k} (suma din ultima egalitate porneste de la k=1, termenul pentru k=0 fiind nul). Folosind identitatea kC_n^k=nC_{n-1}^{k-1}, obtinem s_n=n\sum_{k=1}^n \frac{C_{n-1}^{k-1}}{n2^n+k}.
    Avem acum n\sum_{k=1}^n \frac{C_{n-1}^{k-1}}{n2^n+n}\leq s_n \leq n\sum_{k=1}^n \frac{C_{n-1}^{k-1}}{n2^n+1}, adica \frac{n2^n}{n2^n+n}\leq s_n \leq \frac{n2^n}{n2^n+1}. Trecand la limita, obtinem s_n\to 1.

    • 0
  3. RevnicRobert
    user (0)

    Multumesc frumos pentru rezolvări.Mă ajută foarte mult. 🙂

    • 0
Raspunde

Raspunde