Am in manual o problema care suna in felul urmator:
Fia A un inel cu patru elemente.Aratati ca A este corp daca si numai daca ecuatia x^2+x+1=0 are o radacina in A.
Rezolvarea este in felul urmator ,rezolvare pe care am inteles-o partial sunt unele parti unde nu inteleg ,iar aici am nevoie de ajutor:
Fie A=0,1,a,b.
Presupunem ca ecuatia x^2+x+1=0 are solutie in A.Este vizibil ca 0 nu este o solutie.Nici 1 nu este o solutie pentru ca in acest inel 1+1+1+1=0(Lagrange),dar 1+1+1=0 =>1=0 contradictie.Fie a solutie a ecuatiei.Deci a^2+a+1=0 .Avem ca a+1=b ( aici nu am inteles dece rezulta asta) ,ei explica in felul urmator pentruca ca a+1 =!0;a+1=!1,a+1=!a,se dedice ca a(a+1)=-1=>ab=1(nici aici nu am inteles,au inlocuit pe a+1 cu b,dar -1 de ce s-a transformat in 1).
Reciproc ,presupunem ca A=0.1.a.b este corp.Atunci A*=1.a.b este grup multiplicativ.Am vazut la grupuri izomorfe ca orice grup cu 3 elemente este izomorf cu grupul multiplicativ al radacinilor de ordin 3 in care orice element x verifica x^3=1 ,in particular a^3=1,dar a^3-1=(a-1)(a^2+a+1)=0,cum a!=1 rezulta concluzia.
Demonstram ca a+1!=0
Pp ca a+1=0==>(a+1)(a+1)=a^2+a+1+a=0+a=a (1)
Dar 0*x=0 (2)
Din (1) si (2) rezulta ca a=0. Contradictie.
Restul sunt simple (a+1!=a si a+1!=1).
Deci cele 4 elemente ale inelului sunt {0,1,a,a+1}. Pe a+1 il notam cu b.
O sa ma uit si pe partea cu schimbatul semnului.
Pai chiar asta nu am inteles, de ce il loc de b punem a+1
late:cred ca am inteles ,(A,+) este grup comutativ,cum a si 1 sunt din A rezulta ca si a+1 trebuie sa fie in A ,iar cum noi am demonstrat ca a+1 nu este nici 0 nici 1 nici a ramane singura varianta b.
Nu m-am prins inca la partea cu schimbarea semnului.
Insa ne putem folosi de altceva.
ab=-1=>abab=1=>a(bab)=1 => a este inversabil.
abab=1 => (aba)b=1=>b este inversabil.
Cum toate elementele din A* sunt inversabile ==> A este corp.