Home/ Intrebari/Q 89111
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

grapefruit
maestru (V)
Pe: 2015-03-08T09:57:18+02:00 In: In:

combinatorica

http://www.mathem.pub.ro/_SITE_ELEVI/p-set4.pdf

Problema 33 si 40 m-ar interesa.

Similare

4 raspunsuri

  1. SDoIT

    Problema 33:
    S=\frac{{C_n^0}}{{1}}+\frac{{C_n^1}}{{2}}+\frac{{C_n^2}}{{3}}+ ... +\frac{{C_n^n}}{{n+1}}

    Fiecare termen al sumei e de forma\frac{{C_n^k}}{{k + 1}}.

    Ce ne deranjeaza e numitorul, care difera de la fractie la fractie, de aceea transformam termenii pentru a avea acelasi numitor:

    \frac{{C_n^k}}{{k + 1}} = \frac{{n!}}{{(k + 1)k!(n - k)!}} = \frac{{(n + 1)n!}}{{(n + 1)(k + 1)!(n - k)!}}=\frac{1}{{n + 1}} \frac{{(n + 1)!}}{{(k + 1)!(n - k)}} = \frac{C_{n + 1}^{k + 1}}{{n + 1}}

    Inlocuind in fiecare termen, acum suma se poate calcula usor. Obtinem in final \frac{2^{n+1}-1}{n+1}

  2. Green eyes
    maestru (V)

    Salut,

    Pentru problema 33, vezi problemele de la adresa de mai jos, punctul b:

    Green eyes.

  4. SDoIT

    Problema 40:

    Vazind cosx, cos2x, cos3x, …, cos (n+1)x, ne putem gindi la formula:
    cosnx+isinnx=(cosx+isinx)^{n}

    Deci o idee ar fi sa consideri si o alta suma in care in loc de cos sa ai sin:

    A=cosx+C_{n}^{1}cos2x+C_{n}^{2}cos3x+...+C_{n}^{n}cos(n+1)x
    B=sinx+C_{n}^{1}sin2x+C_{n}^{2}sin3x+...+C_{n}^{n}sin(n+1)x

    Acum calculind A+iB vei obtine (notind cosx + isinx = z):

    A+iB=z+C_{n}^{1}z^{2}+C_{n}^{2}z^{3}+...+C_{n}^{1}z^{n+1}=z(C_{n}^{0}+C_{n}^{1}z+C_{n}^{2}z^{2}+...C_{n}^{n}z^{n})=z(1+z)^{n}

    Inlocuind inapoi in loc de z pe cosx + isinx:

    A+iB=(cox+isinx)(1+cosx+isinx)^{n}

    Mai ramine sa inlocuim
    1+cosx=2cos^{2}\frac{x}{2}

    sinx=2sin(\frac{x}{2})cos(\frac{x}{2})

    Scoatem factor comun 2cos(\frac{x}{2}), si:

    A+iB=2^{n}cos^{^{n}}\frac{x}{2}(cosx+isinx)(cos(\frac{nx}{2})+isin(\frac{nx}{2}))

    Pe noi ne intereseaza A, deci ne trebuie partea reala a membrului drept:

    A=2^{n}cos^{^{n}}\frac{x}{2}(cosx \cdot cos(\frac{nx}{2})-sinx\cdot sin(\frac{nx}{2}))=2^{n}cos^{^{n}}\frac{x}{2}\cdot cos(\frac{nx}{2}+x)

    In fine:

    A=2^{n}cos^{^{n}}\frac{x}{2}\cdot cos(\frac{(n+2)x}{2})

  5. grapefruit
    maestru (V)

    Multumesc ,am inteles.

Raspunde

Raspunde