Home/ Intrebari/Q 89095
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

Radyx
user (0)
Pe: 2015-03-05T16:40:07+02:00 In: In:

Determinare functie

Fie
f:[0,+\infty] -> R
o functie continua astfel incat
f(x^2)-f(x) = x^2 -x\qquad x \in (0,+\infty ) .

Sa se determine f.

Nu stiu cum sa abordez aceasta problema de nici un fel, daca poate veni cineva cu un sfat apreciez!

Similare

9 raspunsuri

  1. gigelmarga
    profesor

    Rezolvaţi mai întâi problema următoare:
    să se determine funcţia continuă g:[0,+\infty) \rightarrow \mathbb{R} cu proprietatea g(x)=g(x^2), \forall x\geq 0.

    • 0
  2. Radyx
    user (0)

    Buna ziua, nu stiu cum sa rezolv acest tip de ecuatii… am incercat sa ma leg de continuitatea functiei in punctul 0 sa obtin niste relatii insa nu am reusit nimic…

    Multumesc pentru ajutor

    • 0
  4. A_Cristian
    expert (VI)

    Fie x0 un numar din R+*.
    Definim sirul recurent astfel:
    x_{n+1}=\sqrt{x_{n}}
    Cat este
    \lim_{n \to \infty}x_{n}
    Sper sa te ajute sa cauti punctul care trebuie (care nu este 0 😉 ).

    • 0
  5. ghioknt
    profesor

    Relaţia din ipoteză se poate scrie f(x^2)-x^2=f(x)-x, deci funcţia g:[0;\infty )\to \mathbb{R},\;g(x)=f(x)-x
    este continuă şi satisface condiţia g(x^2)=g(x),\;\forall x\in [0;\infty ), din indicaţia lui gigelmarga.
    Fie g(0)=c şi a\in (0;1). Şirul g(a^{2^n}),\;n\geq 0 îndeplineşte următoarele 2 condiţii:
    1) este constant, toţi termenii fiind egali cu g(a);
    2) pentru că a^{2^n}\to 0 şi g este continuă în 0, g(a^{2^n})\to g(0)=c.
    În concluzie g(a) =c.
    Din g(x)=c pe intervalul [0; 1) şi din continuitatea în 1, avem şi g(1)=c.
    Pentru a>1 se repetă raţionamentul pentru şirul g(\sqrt[2^n]{a}),\;n\geq 1. Se obţine g(a)=g(1)=c.
    În final se obţine f(x) =x+c.
    Se observă că nu se foloseşte decât continuitatea în 0 şi 1.

    • 0
  6. gigelmarga
    profesor

    După cum a indicat mai sus A_Cristian, e suficient al doilea şir. E convergent indiferent dacă a<1 sau a>1.

    • 0
  8. Radyx
    user (0)

    Astazi pe la ora 14:00 , dupa indicatiile lui A_Cristian si gigelmarga am obtinut o rezolvare care arata in felul urmator:
    Voi transforma relatia relatia in
    f(x^2) - x^2 = f(x) - x
    Fie
    g:[0,+\infty) -> R
    g(x) = f(x) - x

    g este continua deoarece este obtinuta din diferenta a doua functii continue.

    Observam ca
    g(x^2) = g(x)
    Deci
    g(x) = g(\sqrt x)
    g(x) = g(\sqrt[4]x)
    …
    …
    g(x) = g(\sqrt[2n]x)
    pt orice n >= 1 ;

    Observam si ca g(x) este o constanta deci

    \lim_{n \to \infty} g(\sqrt[2n]x) = \lim_{n \to \infty} g(x) = g(x)
    => g(x) = g(1)

    Ma intorc in prima relatie
    f(x) - x = f(1) - 1
    Deci
    f(x) = f(1) -1 + x

    Este o rezolvare plauzibila? Nu inteleg in totalitate rezolvarea lui ghioknt.

    Multumesc tuturor.

    • 0
  9. gigelmarga
    profesor

    Radyx wrote: Nu inteleg in totalitate rezolvarea lui ghioknt.

    Asta e singura chestie suspectă 🙂
    E aceeaşi idee, aplicată separat pe intervale şi iterând relaţia din ipoteză în direcţii diferite.
    La soluţia ta mai trebuie observat că raţionamentele sunt valabile pentru x>0, şi trebuie justificat faptul că şi g(0)=g(1) exact cum a făcut
    ghioknt.

    • 0
  10. Radyx
    user (0)

    Am inteles, multumesc tuturor pentru ajutorul oferit!

    • 0
  12. ghioknt
    profesor

    Intr-adevăr, soluţia mea lasă de dorit; am scris pur şi simplu prima idee pe care am avut-o, fără să-i dau un aspect mai
    comercial, ignorând sugestia lui A_Cristian. În plus, se pare că nu este un terci bine fiert şi uşor de înghiţit, aşa cum
    credeam, ci mai are numeroase ”grăunţe”pentru care îţi trebuie ”dinţi” bine antrenaţi.
    Drept care mă simt obligat să mai scriu o soluţie (de fapt aceeaşi Mărie cu altă pălărie), pe ideea lui A_Cristian.
    Fie a>0, diferit de 1. Prin recurenţă, definesc şirul x_0=a,\;x_{n+1}=\sqrt{x_n}\;\forall n\geq 0. Acest şir are
    limita 1, pentru că, cu excepţia primului termen, ceilalţi formează un subşir al şirului \left ( \sqrt[n]{a} \right )_{n\geq 2}.
    Pentru\;t=x_{k+1}\;avem \;t^2=x_k,\;deci\;f(x_k)-f(x_{k+1})=x_k-x_{k+1} este adevărată pentru orice k.
    Scriind aceste relaţii pentru k=0, 1, …, n-1 şi adunându-le, se obţine:
    f(a)-f(x_n)=a-x_n, care, la limită, devine f(a)=a+f(1)-1=a+c, dacă notăm f(1)-1=c. (Am folosit continuitatea în 1 când
    am scris f(1) în loc de f(x_n).)
    Avem f(x)=x+c pentru orice x>0, inclusiv x=1. Continuitatea lui f în 0 ne asigură că egalitatea f(x)=x+c are loc şi în 0.
    Aşadar orice soluţie a problemei este o funcţie de forma f(x)=x+c.
    Reciproc, orice asemenea funcţie este soluţie a problemei, caci ea este continuă pe [0; oo) şi (x^2+c)-(x+c)=x^2-x
    are loc pe acelaşi interval.
    In concluzie mulţimea soluţiilor coicide cu mulţimea funcţiilor de mai sus, unde c este orice număr real.

    • 0
Raspunde

Raspunde