Inregistrati-va pentru a beneficia de cunostintele comunitatii, a pune intrebari sau a a raspunde la intrebarilor celorlalti.
Suntem o comunitate care incurajeaza educatia si in care se intalnesc know-how-ul si experienta cu perspective inovative de abordare a problemelor.
Autentificati-va pentru a pune intrebari, a raspunde la intrebarilor celorlalti sau pentru a va conecta cu prietenii.
V-ati uitat parola ? Introduceti adresa de email si veti primi o noua parola.
Please briefly explain why you feel this question should be reported.
Va rugam explicate, pe scurt, de ce credeti ca aceasta intrebare trebuie raportata.
Motivul pentru care raportezi utilizatorul.
1.Fie A,BЄMn(Z) astfel incat A^2+B^2=In si AB=BA.Sa se arate ca pentru orice qЄZ*, matricea A+qB este inversabila.
2.Fie A,BЄMn(R) matrice inversabile.Sa se arate ca daca (AB)^4=A^4 B^4,(AB)^3=A^3 B^3, (AB)^2=A^2 B^2, atunci AB=BA.
Multumesc anticipat!
1. Din ipoteză deducem (A+iB)(A-iB)=In, de unde
det(A+iB)det(A-iB)=1.
Fie P(x)=det(A+xB); evident, P e un polinom cu coeficienţi întregi.
Avem P(i)P(-i)=1. Dacă P(i)=a+bi (cu a,b intregi), obţinem a^2+b^2=1, de unde (a,b) e una din perechile (1,0),(-1,0),(0,1),(0,-1).
Să luăm cazul a=1, b=0 (celelalte cazuri se tratează analog); atunci P(i)=P(-i)=1. Împărţind polinomul P la polinomul X^2+1, şi folosind condiţia precedentă, obţinem
P(x)=(x^2+1)Q(x)+1,
unde Q are tot coeficienţi întregi. Atunci, pentru q întreg,
P(q)=(q^2+1)Q(q)+1
nu poate fi egal cu 0, deci det(A+qB) e nenul.
2. Enunţul e ciudat, deoarece concluzia se obţine imediat doar din ultima egalitate. Care e sursa problemei?
culegerea Burtea