Va rog frumos sa-mi dati o mana de ajutor in rezolvarea acestor exercitii:
1)Se considera nr. real x astfel incat x+1/x apartine lui Z.Sa se arate ca
x^n+1/x^n apartine lui Z pentru orice nr. n apartine lui N.
2)Aratati ca pentru orice nr.natural n,urmatoarea ecuatie are solutii in multimea numerelor intregi: x^2+y^2+z^2=59^n
3)Se considera un patrat ABCD.Sa se arate ca pentru oricare n apartine lui N,n>=6,patratul ABCD poate fi partitionat in n patrate mai mici.
4)Se dau n suprafete patratice arbitrare(n>=2).Sa se demonstreze ca ele pot fi taiate in parti,astfel incat din partile obtinute sa se poata construi o noua suprafata patratica.
Multumesc frumos!
Inductie.
O posibila solutie la problema 3 gasesti aici: http://forum.matematic.ro/viewtopic.php?t=24453.
Aceasta rezolvare se poate transforma intr-una prin inductie pentru P(n): O suprafata patratica se poate descompune in n suprafete
patratice, pentru orice n cel putin 6.
Dupa cum vezi acolo, din faptul ca P(n) este adevarata deducem ca si P(n+3) este adevarata; dar P(6), P(7), P(8) sunt adevarate.
Suficient pentru a afirma ca propozitiile P(n) sunt adevarate pentru orice n mai mare sau egal cu 6.