Home/ Intrebari/Q 87715
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

antonio
Pe: 2014-09-23T15:07:19+03:00 In: In:

Functia nu este primitiva

Aratati ca functia F:(-1;1)\rightarrow \mathbb{R}\: ,\: F(X)=arcsin\, 2x\sqrt{1-x^2} nu este primitiva pentru nici o functie f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}.

Multumesc! 🙂

Similare

2 raspunsuri

  1. ghioknt
    profesor

    Presupun ca in enunt se spune ca si f este definita tot pe (-1; 1), la fel ca F, altfel …
    F nu poate fi primitiva pe (-1; 1) a unei functii dintr-un singur motiv: F nu este derivabila pe tot acest interval.
    O functie de forma F(x)=arcsin u(x) este definita in orice x pentru care |u(x)|<=1si este derivabila in orice x in care u
    este derivabila si diferita de 1 si de -1.
    2x\sqrt{1-x^2}=1\Leftrightarrow x\in [0;\,1)\;si\;4x^2(1-x^2)=1\,\Leftrightarrow x\in [0;\,1)\;si\;(1-2x^2)^2=0\Leftrightarrow x=\frac{1}{\sqrt{2}};
    2x\sqrt{1-x^2}=-1\Leftrightarrow x\in (-1;\,0]\;si\;4x^2(1-x^2)=1\,\Leftrightarrow x\in (-1;\,0]\;si\;(1-2x^2)^2=0\Leftrightarrow x=-\frac{1}{\sqrt{2}}.
    Cum, la noi, functia u este derivabila pe (-1; 1), deducem ca F este cu siguranta derivbila pe (-1; 1)\{-\frac{1}{\sqrt{2}};\frac{1}{\sqrt{2}}}.
    Pentru a afla daca F este sau nu derivabila in cele 2 puncte, trebuie aplicata fie definitia dervatei, fie corolarul teoremei
    lui Lagrange. Aici mi se pare mai comod C.T.L. decat definitia derivatei intr-un punct.
    Stim deja ca F este derivabila pe (-1;-\frac{1}{\sqrt{2}})\cup (-\frac{1}{\sqrt{2}};\frac{1}{\sqrt{2}} )\cup(\frac{1}{\sqrt{2}};1) si continua in cele 2 puncte.
    F'(x)=\frac{1}{\sqrt{1-4x^2(1-x^2)}}\cdot \left ( 2\sqrt{1-x^2}+2x\cdot \frac{-x}{\sqrt{1-x^2}} \right )=\frac{2(1-2x^2)}{|1-2x^2|\sqrt{1-x^2}}.
    Pentru\;x\in (-\frac{1}{\sqrt{2}};\frac{1}{\sqrt{2}} ):\;F'(x)=\frac{2}{\sqrt{1-x^2}};\;F'_s(\frac{1}{\sqrt{2}}=\lim_{x\to \frac{1}{\sqrt{2}}}\frac{2}{\sqrt{1-x^2}}=2\sqrt{2}.
    Pentru\;x\in (\frac{1}{\sqrt{2}};1 ):\;F'(x)=\frac{-2}{\sqrt{1-x^2}};\;F'_d(\frac{1}{\sqrt{2}}=\lim_{x\to \frac{1}{\sqrt{2}}}\frac{-2}{\sqrt{1-x^2}}=-2\sqrt{2}.
    Se confirma ca F nu este derivabila in punctul \frac{1}{\sqrt{2}} pentru ca derivatele laterale in acest punct
    sunt diferite. Analog pentru celalalt punct.
    Putem afirma:
    F nu este primitiva a vreunei functii pe intervalul (-1; 1).
    F este o primitiva pe intervalul (-\frac{1}{\sqrt{2}};\frac{1}{\sqrt{2}} ) a functiei f(x)=\frac{2}{\sqrt{1-x^2}}
    F este o primitiva pe intervalul (-1;-\frac{1}{\sqrt{2}} ) sau pe intervalul (\frac{1}{\sqrt{2}};1) a functiei f(x)=-\frac{2}{\sqrt{1-x^2}}

  2. antonio

    Multumesc pentru explicatie! 😀

Raspunde

Raspunde