Home/ Intrebari/Q 87680
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

GeorgianaLupu
user (0)
Pe: 2014-09-21T13:14:22+03:00 In: In:

Permutari

a) Aratati ca valoarea sumei S=(1+α(1)+(2+α(2))+…+(5+α(5)) pentru orice permutare α∈S5.
b) Determinati permutarea α∈S5 pentru care produsul P= (1+α(1)*(2+α(2))*…*(5+α(5)) este maxim.
α=”alfa”
Ceva idei? 😀

Similare

3 raspunsuri

  1. PhantomR
    expert (VI)

    NOTA: Am folosit \sigma in loc de \alpha, nu am fost destul de atent ^^.

    a) (1+\sigma(1))+...+(1+\sigma(5))=1+2+3+4+5+(\sigma(1)+...+\sigma(5))=1+2+3+4+5+(1+2+3+4+5)=2\cdot \frac{5\cdot 6}{2}=30.
    NOTA: Ideea aici este ca numerele \sigma(1),..,\sigma(5) sunt numerele 1,2,3,4,5 intr-o ordine anume, deci suma lor este mereu aceeasi si egala cu 1+2+3+4+5.

    b) Din Inegalitatea mediilor avem \sqrt[5]{P}\leq \frac{(1+\sigma(1))+...+(1+\sigma(5))}{5}\ \stackrel{a}{=}\frac{30}{5}=6, deci P\leq 6^5, iar egalitatea are loc daca si numai daca 1+\sigma(1)=2+\sigma(2)=...=5+\sigma(5), adica \sigma(1)=1+\sigma(2)=...=4+\sigma(5). Din \sigma(1)=4+\sigma(5)\geq 4+1=5 si \sigma(1)\leq 5, rezulta \sigma(1)=5 si apoi din sirul de egalitati deducem \sigma(2)=4,\sigma(3)=3,\sigma(4)=2,\sigma(5)=1.

    Deci maximul pentru P este 6^5 si el se atinge pentru permutarea \sigma=\left( \begin{array} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 5 & 4 & 3 & 2 & 1 \end{array}\right).

    @GeorgianaLupu: Multumesc pentru problema! 😀 E draguta!

    • 0
  2. GeorgianaLupu
    user (0)

    Multumesc frumos! 😀

    • 0
  4. PhantomR
    expert (VI)

    Cu multa placere! ^_^

    • 0
Raspunde

Raspunde