Home/ Intrebari/Q 87465
Urmator
In Process
Iulia Denisa
user (0)
Pe: 2014-09-05T19:32:22+03:00 In: In:

Z

1.Se considera numarul real x cu proprietatea ca x+x/1 E Z. Sa se arate ca x^n+1/x^n E Z, pentru oricare n E Z.
2.Sa se determine exponentul factorului 2 in descompunerea in factori primi a numarului f(n)=(n+1)(n+2)…(n+n), n>=1.

Similare

4 raspunsuri

  1. maestru (V)

    Presupunem ca exista K din Z a.i numarul X+1/X=k
    se aduce la acelasi numitor
    x^2-kx+1=0
    Conf iViett X!+x2 =k (!
    x1*x2=1 (2×1 x2 radacini
    vom avea ca x1=1/x2 inlocuim in rel(1
    1/x2+1/x2=2/x2=k =>2+x2*k adica sau x2divide 2 sau Kdivide 2
    Presupunem ca x2 divide 2 Tragem concluzia ca X2= 2 sau X2 -2
    FIe x2=2 Inlocuim in rel ! si obtinem 2+1/2=3/2=/ Z
    analog pt x2=-2
    VOM costata ca K divide 2 adica K= +/-2
    Pt K=2
    relatia initiala devine
    (x^2-2x+!=0 =.(x-!)^2=0 x1=1
    pt K=-2 se ajunge la
    (x+1)^2=0 +> x2=-1

    In acest caz X1^n=1 si1/(1)^n =1 si vom avea 1+1=2 e Z
    sau x2=-1
    (-1)^n=1 1/(-1^n=1) pt n par
    DEci (-1)^n+(1/(-1)^n=2 e Z pt n= nr par
    si

    n=impar prin calcule analoage ajungem ca
    (-1)^n+1/(-1)n=-2 eZ

    • 0
  2. user (0)

    Multumesc!

    • 0
  4. profesor

    Metoda 1.
    P(n):\;\;x^n+\frac{1}{x^n}\in \mathbb{Z},\;n\geq 1.
    P(1):\;\;x+\frac{1}{x}\in \mathbb{Z} este adevarata prin ipoteza.
    P(2):\;\;x^2+\frac{1}{x^2}\in \mathbb{Z}\,\Leftrightarrow (x+\frac{1}{x})^2-2\in \mathbb{Z} este si ea adevarata.
    Fie acum o valoare a lui n pentru care P(n) si P(n+1) sunt adevarate (de ex. n=1). Atunci:
    x^{n+2}+\frac{1}{x^{n+2}}=(x+\frac{1}{x})(x^{n+1}+\frac{1}{x^{n+1}})-(x^n+\frac{1}{x^n})\in \mathbb{Z} in mod evident.
    Cf. principiului inductiei, toate propozitiile P(n) sunt adevarate.
    Metoda 2.
    Fie k intreg, de modul cel putin 2. Atunci ipoteza x+\frac{1}{x}=k conduce la concluzia ca x este una dintre radacinile
    (reale) ale ecuatiei t^2-kt+1=0,\;fie\;t_1=x,\;t_2=\frac{1}{x}.
    Se stie ca daca notam t_1^n+t_2^n=S_n,\;unde\,t_1,\;t_2\;sunt \;radacinile\;ecuatiei\;at^2+bt+c=0,\;atunci:\;
    aS_{n+2}+bS_{n+1}+cS_n=0,\;\forall n\in \mathbb{Z}.
    In cazul nostru relatia va fi: S_{n+2}=kS_{n+1}-S_n, relatie care ne va ajuta sa demonstram, ca mai sus, prin inductie
    ca S_n\in \mathbb{Z},\;\forall n\in \mathbb{N}*.

    • 0
  5. profesor

    Fie P(n): In f(n), exp(2)=n.
    P(1): In f(1), exp(2)=1. Intr-adevar, f(1)=2
    P(2): In f(2), exp(2)=2. adevarat pentru ca f(2)=3\cdot4.
    Deci am verificat ca P(1) si P(2) sunt adevarate.
    Daca p(n) este adevarata, sa aratam ca in f(n+1) exponentul lui 2 este n+1.
    f(n+1)=(n+2)(n+3) … (2n)(2n+1)(2n+2)=f(n)(2n+1)2, deci f(n+1) contine un singur 2 in plus fata de f(n); (2n+1 fiind impar).

    • 0
Raspunde

Raspunde