Home/ Intrebari/Q 87463
Urmator
In Process
Iulia Denisa
user (0)
Pe: 2014-09-05T19:26:30+03:00 In: In:

Inegalitati

Fie a,b,c numere reale pozitive.Sa se arate ca are loc inegalitatea:
1/(a^2+2) + 1/(b^2+2) + 1/(c^2+2)<=V2/2 *(Va+Vb+Vc)/V(abc).
Va=radical din a

Similare

5 raspunsuri

  1. profesor

    Pentru 2 numere pozitive x si y avem: x+y\geq 2\sqrt{xy}.
    Asadar: a^2+2\geq 2\sqrt{2a^2}=2\sqrt{2}a\;\Rightarrow \frac{1}{a^2+2}\leq \frac{1}{2\sqrt{2}a}.
    Adunand aceasta inegalitate cu omoloagele ei, obtii:
    \frac{1}{a^2+2}+\frac{1}{b^2+2}+\frac{1}{c^2+2}\leq \frac{1}{2\sqrt{2}}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})=\frac{1}{4\sqrt{2}}[(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})+(\frac{1}{b}+\frac{1}{c})+(\frac{1}{c}+\frac{1}{a})]\leq
    \leq \frac{1}{4\sqrt{2}}(\frac{2}{\sqrt{ab}}+\frac{2}{\sqrt{bc}}+\frac{2}{\sqrt{ca}})=\frac{2}{4\sqrt{2}}\cdot \frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}{\sqrt{abc}}=\frac{\sqrt{2}}{4}\cdot \frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}{\sqrt{abc}}.

    • 0
  2. user (0)

    Multumesc!

    • 0
  4. profesor

    Din pacate, \frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge \frac{2}{\sqrt{ab}}.

    Later edit
    În plus, inegalitatea
    \frac{1}{4} \, \sqrt{2} {\left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}\right)} \leq \frac{\sqrt{2} {\left(\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c}\right)}}{2 \, \sqrt{a b c}}
    nu e adevărată pentru, de exemplu, a=1/81, b=c=1.

    • 0
  5. profesor

    Din păcate, în matematică, inegalităţile nu funcţionează şi-aşa, şi-aşa, după cum ai interes.
    Sedus de majorările \frac{1}{a^2+2}\leq \frac{1}{2\sqrt{2}a}, care apropie expresiile din cei doi membri,
    nu am mai fost atent că aceste majorari sunt mult prea grosolane, rezultatul obţinut depăşind copios membrul al doilea.

    În altă ordine de idei, cred că în loc de \frac{\sqrt{2}}{2} ar trebui scris \frac{1}{2\sqrt{2}}.
    Atunci problema ar propune să arătăm că expresia
    \frac{1}{a^2+2}+\frac{1}{b^2+2}+\frac{1}{c^2+2}-\frac{1}{2\sqrt{2}}(\frac{1}{\sqrt{ab}}+\frac{1}{\sqrt{ac}}+\frac{1}{\sqrt{bc}})
    are un maxim egal cu 0. Ori, pentru a=b=c=\sqrt{2} expresia propusă chiar ia valoarea 0, iar punctul respectiv
    are toate şansele să fie punctul de maxim căutat. În problema propusă, egalitatea nu mi se pare că se justifică.

    ÎIn concluzie, nu-mi rămâne decât să cer scuze celor pe care i-am indus în eroare cu postarea mea şi să-i mulţumesc lui
    gigelmarga pentru atenţionare.

    • 0
  6. profesor

    M-am chinuit si eu cu inegalitatea propusă (a fost o discutie pe alt forum) care, se pare, e dintr-o culegere de Burtea.

    Inegalitatea e gresită, după cum se poate vedea dacă luăm, de exemplu, a=1 iar b si c foarte mari.

    • 0
Raspunde

Raspunde