Home/ Intrebari/Q 87054
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

grapefruit
maestru (V)
Pe: 2014-07-02T16:05:42+03:00 In: In:

subiect poli

Sa se determine parametrul m real astfel incat solutiile ecuatiei urmatoare
(m-1)x^2-2(m-2)x+m-4=0 sa verifice x_1<2<x_2

Care sunt conditiile ca o functie f:R->R sa admita 2 puncte de extrem?

Similare

4 raspunsuri

  1. gunty
    maestru (V)

        \[ \begin{array}{l} \Delta = 4\left( {m - 2} \right)^2 - 4\left( {m - 1} \right)\left( {m - 4} \right) = 4\left( {m^2 - 4m + 4} \right) - 4\left( {m^2 - 5m + 4} \right) = 4m \\ Deci\;4m \ge 0 \Leftrightarrow m \ge 0;\quad x_{1,2} = \frac{{2\left( {m - 2} \right) \pm 2\sqrt m }}{{2\left( {m - 1} \right)}} = \frac{{m - 2 \pm \sqrt m }}{{m - 1}}. \\ x_1 < 2 \Leftrightarrow \frac{{m - 2 - \sqrt m }}{{m - 1}} < 2 \Leftrightarrow m - 2 - \sqrt m < 2m - 2 \Leftrightarrow - \sqrt m < m. \Rightarrow m > 0. \\ x_2 > 2 \Leftrightarrow \frac{{m - 2 + \sqrt m }}{{m - 1}} > 2 \Leftrightarrow m - 2 + \sqrt m > 2m - 2 \Leftrightarrow \sqrt m > m \Leftrightarrow 1 > \sqrt m \Leftrightarrow 1 > m. \\ \\ In\;concluzie,\;m \in \left( {0,1} \right). \\ \end{array} \]

    • 0
  2. PhantomR
    expert (VI)

    @Domnul gunty: Daca nu gresesc, exista o mica problema in sensul ordonarii radacinilor, mai exact conteaza care din ele este x_1 si care x_2.

    O alta idee:

    In primul rand, pentru ca ecuatia sa poata avea doua solutii distincte, se impune m-1\neq 0 \Leftrightarrow m\neq 1. Apoi, avem x_1<x_2, deci solutiile sunt distincte, adica \Delta>0 \Leftrightarrow 4(m-2)^2-4(m-1)(m-4)>0 \Leftrightarrow 4m^2-16m+16-4m^2+20m-16>0 \Leftrightarrow 4m>0 \Leftrightarrow m>0.

    Acum, conditia x_1<2<x_2 se poate traduce prin „o radacina este mai mica decat 2 si cealalta mai mare”, ceea ce este echivalent cu (x_1-2)(x_2-2)<0 (Demonstratie!) (unde avem in vedere ordonarea x_1<x_2), de unde x_1x_2-2(x_1+x_2)+4<0 \Leftrightarrow \frac{m-4}{m-1}-2\cdot \frac{2(m-2)}{m-1}+4<0 \Leftrightarrow \frac{m-4-4m+8+4m-4}{m-1}<0 \Leftrightarrow \frac{m}{m-1}<0. Din m>0 rezulta atunci m-1<0 \Rightarrow m<1.

    In concluzie, m\in (0;1).

    • 0
  4. DD
    profesor

    Sunt bune ambele demonstratii ale colegilor,totusi sunt invtate reguli in baza proprietatilor ec de grad 2. In cazul dat;
    -discriminantul mai mare ca zero,pentru radacini reale;
    (m-2)^2-(m-1)(m-4)>0
    -Intre radacini,expresia ec de grad 2 are semn contrar fata de coeficientul lui x^2
    (m-1).f(m,2)<0 unde f(m,x)=(m-1)x^2-2(m-2)x+m-4. REzolvand obtinem ”m” apartine (0,1)

    • 0
  5. grapefruit
    maestru (V)

    Multumesc frumos! Cu cat mai multe metode de rezolvare cu atat ma bine !

    • 0
Raspunde

Raspunde