Home/ Intrebari/Q 86987
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

marianstefi20
Pe: 2014-06-15T12:47:42+03:00 In: In:

O rezolvare prea complicata

M-am chinuit destul de mult astazi cu o problema de la UTC din cartea cu probleme pentru admitere. Intr-adevar, am rezolvat-o, dar trebuie sa recunosc ca intr-un mod foarte dificil si lung. Cred ca metoda mea nu este una indicata si v-as ruga sa ma ajutati in a gasi o alta cale, daca exista, mai scurta si la obiect.

Problema 236,237 din Culegerea cu probleme din 2013:
Fie P(x) un polinom de gradul 7 cu coeficientul lui $x^7$ egal cu 1. Daca exista $a \in \Re$ pentru care P(x) – a se divide cu $(x+1)^4$ si P(x)+a se divide cu $(x-1)^4$ atunci:
236. Coeficientul lui $x^5$ este: A.-7 B.21/4 C.-21/5 D.14 E.-22/4
Raspunsul corect este C
237.a este A.0 B.16/5 C.-16/5 D.21/5 E.-21/5
Raspunsul corect este B.
Va scanez foile pe care am scris, sper sa fie elocvente.

Similare

3 raspunsuri

  1. PhantomR
    expert (VI)

    Fie G(x)=P(x)-a si H(x)=P(x)+a. Cum G(x) are radacina de ordin patru pe -1, derivata G'(x) are radacina tripla pe -1. Similar, H'(x) are radacina tripla pe 1.

    Dar sa observam ca G'(x)=H'(x)=P'(x) si atunci P' are ca radacini triple pe \pm 1. Dar P' are gradul 6, deci acestea sunt singurele lui radacini. Cum P(x)=x^7+... avem P'(x)=7x^6+..., adica P' trebuie sa aiba coeficientul dominant 7. Rezulta atunci P'(x)=7(x+1)^3(x-1)^3, deci P'(x)=7(x^2-1)^3=7(x^6-3x^4+3x^2-1). Prin integrare, P(x)=7\left(\frac{x^7}{7}-3\frac{x^5}{5}+3\frac{x^3}{3}-x\right)+C=x^7-\frac{21}{5}x^5+7x^3-7x+C, unde C este o constanta anume.

    Deci coeficientul cautat este intr-adevar -\frac{21}{5}.

    Pentru urmatoarea cerinta, avem in vedere P(x)-a=(x+1)^4Q(x), de unde pentru x=-1 \Rightarrow P(-1)-a=0 si P(x)+a=(x-1)^4R(x) de unde pentru x=1 \Rightarrow P(1)+a=0.

    P(-1)-a=0 \Leftrightarrow -1+\frac{21}{5}-7+7+C-a=0 \Rightarrow \frac{16}{5}+C-a=0
    P(1)+a=0 \Leftrightarrow 1-\frac{21}{5}+7-7+C+a=0 \Rightarrow -\frac{16}{5}+C+a=0.

    Scazand prima din a doua deducem 2a-2\cdot \frac{16}{5}=0 \Rightarrow a=\frac{16}{5}, ceea ce trebuia aratat.

  2. marianstefi20

    O rezolvare foarte frumoasa!
    Multumesc mult!

  4. PhantomR
    expert (VI)

    Cu multa placere ^_^! Multumesc si eu pentru apreciere! Si solutia cu sistem e frumoasa 😀, dar cu mai multe calcule. Dar presupun ca la examen ar fi printre cele mai grele probleme, deci poate ca ar ramane timp. Multumesc pentru idee si pentru postare!! 😀

Raspunde

Raspunde