Home/ Intrebari/Q 86974
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

Simona_Lorena
Pe: 2014-06-14T14:08:36+03:00 In: In:

Functie injectiva

Sa se arate ca functia f: (1;+infinit) cu valori in R, f(x)=x+1/x este injectiva. Multumesc.

Similare

2 raspunsuri

  1. PhantomR
    expert (VI)

    Fie x,y\in (1;\infty). Avem f(x)=f(y) \Leftrightarrow x+\frac{1}{x}=y+\frac{1}{y} \Leftrightarrow x-y+\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=0 \Leftrightarrow x-y+\frac{y-x}{xy}=0 \Leftrightarrow x-y-\frac{x-y}{xy}=0 \Leftrightarrow (x-y)\left( 1- \frac{1}{xy}\right)=0. Daca 1-\frac{1}{xy}=0 \Rightarrow \frac{1}{xy}=1\Rightarrow xy=1, ceea ce este imposibil caci din x,y>1 \Rightarrow xy>1. Ramane asadar x-y=0, adica x=y. Deci f(x)=f(y) \Rightarrow x=y pentru orice x,y din domeniul de definitie, adica f este injectiva.

  2. Simona_Lorena

    PhantomR wrote: Fie x,y\in (1;\infty). Avem f(x)=f(y) \Leftrightarrow x+\frac{1}{x}=y+\frac{1}{y} \Leftrightarrow x-y+\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=0 \Leftrightarrow x-y+\frac{y-x}{xy}=0 \Leftrightarrow x-y-\frac{x-y}{xy}=0 \Leftrightarrow (x-y)\left( 1- \frac{1}{xy}\right)=0. Daca 1-\frac{1}{xy}=0 \Rightarrow \frac{1}{xy}=1\Rightarrow xy=1, ceea ce este imposibil caci din x,y>1 \Rightarrow xy>1. Ramane asadar x-y=0, adica x=y. Deci f(x)=f(y) \Rightarrow x=y pentru orice x,y din domeniul de definitie, adica f este injectiva.


    Multumesc 😀!

Raspunde

Raspunde