Sa se demonstreze ca xn=(2n)!/(2^n)*n! este numar natural, â nâN. Va multumesc!
AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari
AniDeȘcoală.ro
Inregistrati-va pentru a beneficia de cunostintele comunitatii, a pune intrebari sau a a raspunde la intrebarilor celorlalti.
Suntem o comunitate care incurajeaza educatia si in care se intalnesc know-how-ul si experienta cu perspective inovative de abordare a problemelor.
Autentificati-va pentru a pune intrebari, a raspunde la intrebarilor celorlalti sau pentru a va conecta cu prietenii.
V-ati uitat parola ? Introduceti adresa de email si veti primi o noua parola.
Please briefly explain why you feel this question should be reported.
Va rugam explicate, pe scurt, de ce credeti ca aceasta intrebare trebuie raportata.
Motivul pentru care raportezi utilizatorul.
Sa se demonstreze ca xn=(2n)!/(2^n)*n! este numar natural, â nâN. Va multumesc!
Problema poate fi facuta prin inductie matematica? Eu asa am incercat si mi-a dat rezultatul corect dar nu stiu sigur daca asa trebuie facut…
Acel n! este la numitor sau la numarator?
Pai exercitiul este astfel:
(2*n)!-factorial supra / 2 la puterea n (2^n) * n!-factorial , n! este la numitor
(2.n)!=1.2.3.4…………2(n-1).(2n-1).2n=.[1.3.5.7…….(2n-1)].[2.4.6.8……2n]={Produsul(de la k=1 la n)[(2k-1)]}.(2.1).(2.2).(2.3)…..(2n)
=Produsul(k de la 1 la n)[(2k-1)].(2^n).n!. Deci (2n)!/(2^n.n!)=Produsul (k de la 1 la n)[(2k-1)] care este numar intreg, natural.
DA ca vrei alta metoda decat inductia
simplifici fractia prin n! la numarator obtii (n+1)*(n+2)*…2n aica n factori
la numitorramane 2^n
NE intoarcem la numarator si observam ca avem n/2 numere pare
adica vei avea 2^(n/2)
tot la numarator vor fiiN/4 numere divizibile la 4 din care le scazi pe cele divizibile doar la 2 n/2-n/4= n/4 nr divizibile la 4 nu su doar la 2 Deci vei avea
produsul numerelor de la numarator va contine factorul 2^(n/2)*(2^2)^N/4=2^n care se simplifica cu numitorul si obtii nr natural
deci@^(
daca n=3 dupa simplificarea cu 3! ramane (4*5*6)/8=15 e N
adica vei lua [n/4] daca impartirea nu se face exact
Altfel spus:
Mai este valabila (corecta !) afirmatia se mai sus ?
Eu consider ca da si voiu incerca sa justific mai jos si de ce
dupa simplificaere la numerator (n+1)*(n+2)*…(2n) avem n factori
de forma ((2k+2)*(2k+3)*….(4k+2)
La nimitor 2^(2k+1)
La numerator avem k+1 factori pari si[(k+1)/2] factori divizibili cu 4
Deosebim2 situatii
k= nr par k=2p si vom a obtine [(2p+1)/2]= p factori divizibili cu 4
vom scadea factorii divizibili cu 4 pt a nu-I Numara de 2 ori
adica K+1=2p+1-p= p+1
Deci la numerator se vaobtimne un produs de foprma2^(2p+1)(2^2)^(P+1)= 2^4p+4 (1)
La numerator avem 2^(2k+1)=2^(4p+2)
dupa simplificare vom cu 2^(4p+2) vom ramane la numitor cu 1 adica un produs de numerate natural
caz K=nr impar k=2p+1
[(2p+20/2]= p+1 si rezlvarea aasemanatoare cu cazul precedent