Home/ Intrebari/Q 86645
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

viperaza
user (0)
Pe: 2014-05-14T20:51:58+03:00 In: In:

functie polinomiala

Fie functia polinomiala Q(x)=(a_{1}(x-1)+1)(a_{2}(x-1)+1)(a_{3}(x-1)+1)...(a_{n}(x-1)+1), x\epsilon \mathbb{R},\; a_{i}\, \epsilon\, (0,1),\: i=\overline{1,n}

Determinati a_{1},a_{2},...,a_{n} astfel incat expresia:

\sum_{k=1}^{n}k^{2}b_{k}-(\sum_{k=1}^{n}kb_{k})^{2}

sa fie maxima, unde bk este coeficientul lui x^k din dezvoltarea polinomului Q.

Similare

3 raspunsuri

  1. viperaza
    user (0)

    Nici o idee?

    • 0
  2. ghioknt
    profesor

    Incerc o schita de demonstratie, nu chiar o demonstratie; in mod cert se poate perfectiona, sau inlocui cu altceva…
    Q(x)=b_0+b_1x+b_2x^2+...+b_nx^n;\;Q'(x)=b_1+2b_2x+...+nb_nx^{n-1};\;Q''(x)=2\cdot 1b_2+3\cdot 2b_3x+ ...+n(n-1)x^{n-2}.
    Q'(1)=\sum_{k=1}^{n}kb_k;\;Q''(1)=\sum_{k=2}^{n}k(k-1)b_k=\sum_{k=2}^{n}k^2b_k-\sum_{k=2}^{n}kb_k=\sum_{k=1}^{n}k^2b_k-\sum_{k=1}^{n}kb_k.
    Deduc: \sum_{k=1}^{n}k^2b_k-(\sum_{k=1}^{n}kb_k)^2=Q''(1)+Q'(1)-[Q'(1)]^2.
    Q'(x), prin derivarea produsului care-l defineste pe Q(x), se scrie ca o suma de produse care se obtin din Q(x) prin inlocuirea factorului
    de pe locul k cu a_k;\;atunci\;Q'(1)=\sum_{k=1}^{n}a_k.
    Derivand produsele din expresia lui Q'(x), obtinem Q”(x) ca o suma de produse in care oricare 2 paranteze de gradul 1
    sunt inlocuite cu coeficientii respectivi si, in final, Q''(1)=2\sum_{1\leq i<j\leq n}a_ia_j.
    \sum_{k=1}^{n}k^2b_k-(\sum_{k=1}^{n}kb_k)^2=2\sum_{1\leq i<j\leq n}a_ia_j+\sum_{k=1}^{n}a_k-[\sum_{k=1}^{n}a_k]^2=\sum_{k=1}^{n}a_k-\sum_{k=1}^{n}a_k^2=\sum_{k=1}^n(a_k-a_k^2).
    Fiecare termen al sumei isi atinge valoarea maxima pentru a_k=\frac{1}{2}, punctul de maxim pentru f(x)=x-x^2.
    O fi bine, n-o fi bine?
    Eu iti urez ca deobicei, cu bine,
    ghioknt

    • 0
  4. viperaza
    user (0)

    Va multumesc!

    • 0
Raspunde

Raspunde