![\[ Aratati\;ca\;sirul\;\left( {x_n } \right)_{n \ge 1} ,\;x_n = \frac{1}{{\sqrt 1 }} + \frac{1}{{\sqrt 2 }} + \frac{1}{{\sqrt 3 }} + ... + \frac{1}{{\sqrt n }} - 2\sqrt n \;este\;marginit\;inferior. \]](https://anidescoala.ro/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-99434b3dd1e2b4d4dfd096b0b2df476e_l3.png "formula matematica")
AniDeȘcoală.ro
Inregistrati-va pentru a beneficia de cunostintele comunitatii, a pune intrebari sau a a raspunde la intrebarilor celorlalti.
Suntem o comunitate care incurajeaza educatia si in care se intalnesc know-how-ul si experienta cu perspective inovative de abordare a problemelor.
Autentificati-va pentru a pune intrebari, a raspunde la intrebarilor celorlalti sau pentru a va conecta cu prietenii.
V-ati uitat parola ? Introduceti adresa de email si veti primi o noua parola.
Please briefly explain why you feel this question should be reported.
Va rugam explicate, pe scurt, de ce credeti ca aceasta intrebare trebuie raportata.
Motivul pentru care raportezi utilizatorul.
Fie f o functie crescatoare pe (0; oo), derivabila si cu derivata descrescatoare. Atunci sirul a_n=f'(1)+ … +f'(n)-f(n)😀 .
este descrescator si marginit (inferior)
Teorema lui Lagrange: f(k+1)-f(k)=f'(c), cu k<c<k+1 da f'(k+1)<f'(c)<f'(k), deci f'(k+1)<f(k+1)-f(k)<f'(k) (1).
a_(n+1)-a_n=f'(n+1)-f(n+1)+f(n)<0 cf. f'(n+1)<f(n+1)-f(n), deci este dovedita monotonia.
Adunand inegalitatile (1), partea a doua, pentru k=1, 2, …, n:
f(n+1)-f(1)<f'(1)+f'(2)+ … +f'(n), de unde a_n>f(n+1)-f(n)-f(1)>-f(1), caci f crescatoare implica f(n+1)-f(n)>0.
Astfel functia f(x)= lnx indeplineste conditiile preconizate, deci c_n= 1+1/2+ … +1/n-lnn este descrescator si marginit.
Limita acestui sir a fost notata cu c si numita constanta lui Euler. Pentru alta functie, chibzuit aleasa, se va obtine alt sir
convergent, a carui limita se va nota cu g si se va numi constanta lui ghioknt, sau a lui gunty (are matematica functii!), iar
”posterioritatea” se va stradui sa demonstreze ca g ete un numar irational
De exemplu pentru f(x)=2sqrt(x) obtii sirul propus de tine.
Cu bine,
ghioknt
Multumesc! Nu m-as fi gandit sa o apuc asa. Eu ma gandeam la inductie, dar am vazut ca nu merge.