Home/ Intrebari/Q 86395
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

londra2
user (0)
Pe: 2014-04-28T12:03:01+03:00 In: In:

Exercitii cu teorema lui Lagrange

Rezolvati in R ecuatiile:

    \[ 1 + 5^x = 2^x + 4^x \]

Similare

1 raspuns

  1. ghioknt
    profesor

    Pentru un x fixat, consideri functia f:(0;\infty)\to (0;\infty),\;f(t)=t^x,\;derivabila\;cu\;f'(t)=xt^{x-1}. Poti aplica teorema lui
    Lagrange pe intervalele [1; 2] si [4; 5]:
    \exists t_1\in (\1;2),\;si\;t_2\in (4;5)\;a.i.\;f(2)-f(1)=(2-1)f'(t_1),\;f(5)-f(4)=(5-4)f'(t_2)\Leftrightarrow 2^x-1=xt_1^{x-1},\;5^x-4^x=xt_2^{x-1}.
    1+5^x=2^x+4^x\Leftrightarrow 5^x-4^x=2^x-1\Leftrightarrow xt_2^{x-1}=xt_1^{x-1}\Leftrightarrow x(t_2^{x-1}-t_1^{x-1})=0\Leftrightarrow x=0\;sau\;t_2^{x-1}-t_1^{x-1}=0.
    Ultima ecuatie se mai scrie (\frac{t_2}{t_1})^{x-1}=1\Leftrightarrow x-1=0.
    Deci singurele solutii sunt x=0 si x=1.
    Cu bine,
    ghioknt

    • 0
Raspunde

Raspunde