Inregistrati-va pentru a beneficia de cunostintele comunitatii, a pune intrebari sau a a raspunde la intrebarilor celorlalti.
Suntem o comunitate care incurajeaza educatia si in care se intalnesc know-how-ul si experienta cu perspective inovative de abordare a problemelor.
Autentificati-va pentru a pune intrebari, a raspunde la intrebarilor celorlalti sau pentru a va conecta cu prietenii.
V-ati uitat parola ? Introduceti adresa de email si veti primi o noua parola.
Please briefly explain why you feel this question should be reported.
Va rugam explicate, pe scurt, de ce credeti ca aceasta intrebare trebuie raportata.
Motivul pentru care raportezi utilizatorul.
Daca x1,x2….x_n-1 sunt radacinile diferite de 1 ale ecuatiei x^n-1=0
Sa se arate ca 1/(1-x1)+1/(1-x2)+….+1/(1-x_n-1)=(n-1)/2
Problema apare in capitolul derivate.
In ec,;x^n-1=0 avem ;Suma(k de la 1 la n)[Xk]=0. FIe ; Yk=Xk-1 sau Xk=1+Yk si.excluzand pe Xn=1 sau (Yn=0)si unde Yk ( k de la 1lan-1) vor fi radacinile ec (x-X1)(x-X2)…..(x-X(n-1))=(x^n-1)/(x-1)=0 sau (y-1-(Y1+1))(y-Y2)….(y-Y(n-1))=((y+1)^n-1)/y=0 sau y^(n-1)-SUma(kde la 1 la n-1)[Yk]*y^(n-2)+…+(-1)^(n-1)Y1.Y2…..Y(n-1)=0.In aceasta ec sa inlocuim pe Yk cu 1/Zk si pe y cu 1/z si ec in y devine ; n.z^(n-1)+n.(n-1)/2.z^(n-2)+….=0.
In acest caz ; Sums(k de la 1 la n-1)[Zk]=-n(n-1)/(2n)=Suma(k de la 1 la n-1)[1/Yk]=Suma(k de la1 la n-1)[1/(Xk-1) sau; suma(k de la 1 la n-1)[1/(1-Xk)]=+(n-1)/2
Saupornind de la ec. in x ,excluzand radacina x=1,avem;f(x)=(x^n-1)/(x-1)=1+x+x^2+x^3+…X^(n-1)=0=(x-X1)(x-x2)……(z-X(n-1)) sa derivam;
f ‘(x)=1+2x+3x^2+….+(n-1)x^(n-2).=suma (k de la 1 la n-1)[f(x)/(x-Xk) .Aceasta relatie este o identitate in x . Fie x=1->f ‘(1)=f(1).suma (k de la 1 la n-1)[1/(1-Xk)] sau ;n.(n-1)/2=n.suma(k de la 1 la n-1)[1/(1-xk)] sau ;
(n-1)/2=suma(k de la 1 la n-1)[1/(1-Xk)]
f ‘(x)=1+2x+3x^2+….+(n-1)x^(n-2).=suma (k de la 1 la n-1)[f(x)/(x-Xk)
–
Asta nu am inteles-o,suma aceea nu este suma produsului (x-x1)..(x-x_n-1) in care se elimita un factor.?
Am vazut ca in final f(x)=(x^n-1)/(x-1) pentru a exclude din ec.X^n-1 radacina x=1. Dar f(x)=1+x+x^2+x^3+……..+x^(n-1) Ec. f(x)=0 va avea n-1 radacini in C ,de tipul Xk. Conf. lui Viete f(x)=(x-X1)(x-X2)………(x-X(n-1)) si f ‘(x)=
1+2x+3.x^2+…………+(n-1).x^(n-2)=(x-X2)(x-X3)………(x-X(n-1)) +
(x-X1)(x-X3)…………..(x-X(n-1)) +……………..+(x-X1)(x-X2)……(x-X(n-2))=f(x)/(x-X1)+f(x)/(x-X2)+……….+f(x)/(x-X(n-1))=f(x).Suma(k de la 1 lan-1)[1/(x-Xk). Prin derivarea lui f(x) sub forma Viete se obtin n-1 termeni sub forma de produse si din fiecare termen lipseste cate un factor (x-Xk). Daca termenul respectiv il inmultim si impartim cu factorul care lipseste , vom obtine termeni de forma f(x)/(x-Xk). Clar?