Home/ Intrebari/Q 86340
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

viperaza
Pe: 2014-04-24T09:30:23+03:00 In: In:

Problema derivate

Fie f,g: (a,b)->R doua functii neconstante si derivabile. Pentru fiecare x din (a,b) avem f(x) + g(x) \neq 0 şi f'(x)g(x) – f(x)g'(x) = 0.
Arătaţi că:
a) g(x) \neq 0, oricare x din (a,b).
b) functia \frac{f(x)}{g(x)} este constanta pe (a,b).

(Concursul G. Moisil-1989)

Similare

3 raspunsuri

  1. DD
    profesor

    b)f(x)/g(x)=h(x)->h'(x)=[f ‘(x).g(x)-f(x).g'(x)]/(g(x))^2=0/(g(x))^2. Daca
    g(x) este diferit de 0 ,atunci h'(x)=0 si h(x)=k. Functia g(x) pe (a,b) este continua pentruca g'(x) exista. Fie ca pe (a,b) exista un punct c pentru care g(c)=0. n acest caz , h'(c)=0/0.In acest caz vom face limla stanga si la dreapta din h'(x)cand x->c,deci ; lim(x->c,x<c)h'(x)=0=lim(x->c,x>c)h'(x). Cum h'(x)
    este derivabil->h'(x) este continuu si h'(c)=0 si h(x)=k.
    a)Cum f(x)+g(x)=t(x) este diferit de 0pe (a,b)si f(x)/g(x)=h(x)=k->t(x)=g(x).
    (f(x)/g(x)+1)=g(x).(K+1) diferit de 0->g(x) pe (a,b) este diferit de 0

  2. ghioknt
    profesor

    Presupun (pentru o demonstraţie prin reducere la absurd) că în orice subinterval al lui (a; b) există zerouri ale lui g.
    Fie c\in (a;\,b)\;a.i.\;g(c)\neq 0. În ipoteza făcută, pot lua un şir (x_n)_{n\geq 1} convergent la c, format numai din zerouri
    ale lui g. Atunci \lim_{n \to \infty }g(x_n)=\lim_{n \to \infty }0=0, iar din continuitatea lui g deduc g(c)=0, contradicţie.
    Atunci pot conta pe un număr u a. î. g(u)=0 şi pe un interval (c; u), sau (u; d) după cum am interes, pe care g(x)\neq 0,
    deci pe care f/g este definită, derivabilă şi cu derivata nulă, cf. ultimei ipoteze. Atunci există k a. î. f(x)/g(x)=k, sau
    f(x)=kg(x) pentru orice x din (c; u).
    Fie (x_n)_{n\geq 1} convergent la u cu toţi termenii în (c; u). Din continuitatea lui g: \lim_{n \to \infty }g(x_n)=g(u)=0;\; deduc\;\lim_{n \to \infty }f(x_n)=0\;adica f(u)=0,
    din continuitatea lui f de data asta. f(u)+g(u)=0 contrazice altă ipoteză, ceeace infirmă şi existenţa unor zerouri
    izolate de această dată, ale lui g.
    Cam asta ar fi, în mare, schema mea de raţionament. Ea mai poate fi cizelată, rafinată, sau înlocuită cu altceva.
    Cu bine,
    ghioknt

  4. ghioknt
    profesor

    O să ”coafez” puţin soluţia mea, poate va arăta mai bine.
    Presupunerea 1): există zerouri ale lui g.
    Presupunerea 2): Nu există niciun subinterval al lui (a; b) lipsit de zerouri ale lui g. Raţionamentul cu şiruri formate numai
    din zerouri, prezentat deja, arată că această presupunere este falsă.
    Deci există intervale lipsite de zerouri. Fie I un astfel de interval maximal, adică de forma (a; u), sau (u; b), sau (u’; u),
    unde u şi u’ sunt zerouri ale lui g, adica g(u)=g(u’)=0. Am arătat că dacă iau un şir convergent la u, cu toţi termenii în I=(a; u),
    ajung la concluzia că şi f(u)=0, deci f(u)+g(u)=0, contradicţie. La fel se arată că I nu poate fi mărginit nici în stânga de un zerou
    al lui g. Deci I=(a; b), adică şi presupunerea 1) cade: g(x) diferit de 0 pe (a; b).
    Mi-ar plăcea să vad şi soluţia autorului.
    Cu bine,
    ghioknt

Raspunde

Raspunde