limita

Sa inmultim si sa impartim suma cu ”n” si vom avea ;
lim(n->infinit)Suma(k de la 1 la n){[arcsin((k/n)/n)]/(1/n)}.(1/n)=lim(n->infinit)
Suma (k de la 1 la n){lim(n->infinit)[arcsin((k/n)/n)]/(1/n)}.(1/n)=lim(n->infinit)Suma(k de la 1 la n)(k/n).(1/n)=(dupa Riemann)=Integrala (de la 0 la 1)xdx=x^2/2(de la 0 la 1)=1/2

PhantomR · Answer 4 · 2014-04-13T15:13:55+03:00

Va multumesc pentru raspuns! 🙂 Am sa prezint o solutie bazata pe o idee foarte ingenioasa din cartea domnului profesor Mircea Ganga – „Elemente de analiza matematica pentru clasa a XII-a PARTEA A DOUA”, Editura Mathpress, 2000. Acolo era abordata o suma cu $\sin$ insa vad ca functioneaza si aici aceea splendida idee.

Vom folosi limita $\lim_{x\to 0} \frac{\arcsin x}{x}=1$ . In limbaj $\epsilon-\delta$ , aceasta inseamna ca pentru orice $\epsilon>0$ exista un $\delta(\epsilon)$ astfel incat oricare ar fi $x$ cu $|x|<\delta(\epsilon)$ sa avem $\left| \frac{\arcsin x}{x}-1 \right|<\epsilon \Rightarrow 1-\epsilon<\frac{\arcsin x}{x}<1+\epsilon$ , Sa alegem $N(\epsilon)$ astfel incat $\frac{1}{N(\epsilon)}\leq \delta(\epsilon)$ , caci astfel pentru orice $n\geq N(\epsilon)$ si orice $k=\overline{1,n}$ vom avea $\left|\frac{k}{n^2}\right|=\frac{k}{n^2}\leq \frac{n}{n^2}=\frac{1}{n}\leq \frac{1}{N(\epsilon)}\leq \delta(\epsilon)$ si ca urmare, $1-\epsilon<\frac{\arcsin \frac{k}{n^2}}{\frac{k}{n^2}}<1+\epsilon$ , de unde $\frac{k}{n^2}(1-\epsilon)<\arcsin \frac{k}{n^2}<\frac{k}{n^2}(1+\epsilon)$ . Sumand dupa $k=1,2,...,n$ obtinem $\sum_{k=1}^n\frac{k}{n^2}(1-\epsilon)<\sum_{k=1}^n\arcsin\frac{k}{n^2}<(1+\epsilon)\sum_{k=1}^n\frac{k}{n^2}$ , de unde $1-\epsilon<\frac{\sum_{k=1}^n\arcsin\frac{k}{n^2}}{\sum_{k=1}^n\frac{k}{n^2}}<1+\epsilon$ , adica (scazand $1$ ), $\left| \frac{\sum_{k=1}^n\arcsin\frac{k}{n^2}}{\sum_{k=1}^n\frac{k}{n^2}}-1\right|<\epsilon$ pentru $n\geq N(\epsilon)$ , ceea ce inseamna ca $\lim_{n\to\infty} \frac{\sum_{k=1}^n\arcsin\frac{k}{n^2}}{\sum_{k=1}^n\frac{k}{n^2}}=1$ , de unde $\lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^n\arcsin\frac{k}{n^2}=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\frac{k}{n^2}$ .

Dar $\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\frac{k}{n^2}=\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n^2}(1+2+...+n)=\lim_{n\to\infty} \frac{n(n+1)}{2n^2}=\lim_{n\to\infty} \frac{n^2+n}{2n^2}=\frac{1}{2}$ si, ca urmare, $\lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^n\arcsin \frac{k}{n^2}=\frac{1}{2}$ .

NOTA: Mai riguros (caci ne intereseaza oarecum si existenta limitei in cauza), avem $\lim_{n\to\infty} \frac{\sum_{k=1}^n\arcsin\frac{k}{n^2}}{\sum_{k=1}^n\frac{k}{n^2}}=1$ si $\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\frac{k}{n^2}=\frac{1}{2}$ , deci prin inmultirea acestora rezulta $\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\arcsin\frac{k}{n^2}=1\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$ .

Raspunsul corect este $\fbox{D.\ \frac{1}{2}}$ .

Va multumesc ca ati postat aceasta foarte frumoasa problema!

PhantomR · Answer 5 · 2014-04-13T15:25:32+03:00

DD wrote:
Suma (k de la 1 la n){lim(n->infinit)[arcsin((k/n)/n)]/(1/n)}.(1/n)=

Daca as putea sa va intreb, este aceasta o proprietate pentru serii (eu nu stiu prea multe despre ele)? Pare sa aiba legatura cu faptul ca $\lim_{n\to\infty} \frac{\arcsin \frac{k}{n}}{\frac{1}{n}}=\lim_{n\to\infty} \frac{\arcsin \frac{k}{n}}{\frac{k}{n}}\cdot k = 1\cdot k = k$ , dar aplicarea acestuia direct aici ar insemna oarecum folosirea unei variante infinite a rezultatului: „limita sumei este egala cu suma limitelor”, iar eu nu stiu ca acesta sa fie adevarat pe caz general.

Imi place totusi ideea dumneavoastra si va multumesc! ^_^

ella22 · Answer 6 · 2014-04-13T15:28:33+03:00

ella22 user (0)

2014-04-13T15:28:33+03:00A raspuns pe 13 aprilie 2014 la 3:28 PM

Eu sunt cea care trebuie sa va multumesc pentru rezolvari. Foarte frumoasa metoda, desi putin mai complicata partea cu $\epsilon-\delta$ . 🙂

0

Raspunde

PhantomR · Answer 7 · 2014-04-13T15:56:05+03:00

Cu foarte multa placere! E intr-adevar putin delicata (daca as putea spune asa) partea cu acel $N(\epsilon)$ , dar nu e chiar foarte complicata alegerea, caci se poate oarecum intui daca stiti unde vreti sa ajungeti. De asemenea, poate nu ati folosit prea mult Criteriul $\epsilon-\delta$ (sincer sa fiu, nici eu, desi l-am intalnit in demonstratia multor rezultate de analiza matematica).

Si mie imi place mult ideea.. in cartea mentionata a domnului Ganga a fost prima oara cand am vazut-o si eu (cautand o idee pentru problema aceasta).

DD · Answer 8 · 2014-04-13T17:47:16+03:00

DD profesor

2014-04-13T17:47:16+03:00A raspuns pe 13 aprilie 2014 la 5:47 PM

Sunt cateva asa zise ”limite importante”printre care ;(sinax)/(bx)=a/b , (arcsinax)/(bx)=a/b , (tgax)/(bx)=a/b , (arctgax)/(bx)=a/b pentru x->0 sau in loc de x avem 1/n pentru n->infinit

0

Raspunde

PhantomR · Answer 9 · 2014-04-13T18:20:07+03:00

Va multumesc pentru raspuns, dar intrebarea mea era legata de aplicarea acelei legi cu suma limitelor, nu de limita aceia care da k in sine (pentru care am scris si eu o demonstratie).

Va voi da un contraexemplu pentru acea aplicatie:

Avem $\lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^n\frac{1}{n}=\lim_{n\to\infty}n\cdot \frac{1}{n}=1$ , dar daca ne luam dupa faptul ca $\frac{1}{n}\to 0$ si aplicam cum pare ca ati aplicat in postarea dumneavoastra avem $\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n0=0$ , fals. Va cer iertare daca am interpretat ceva gresit.

DD · Answer 10 · 2014-04-13T21:06:07+03:00

In cazul unei serii , limita sumei nu este egala cu suma ”limitelor”termenilor.In anumite cazuri cand termenii unui sir sunt definiti prin sume de tipul; an=
Suma(k de la 1 la n)[ (f(k/n)).(1/n) ] atunci se poate aplica integrala Riemann ,avand limitele de intgrare de la 0 la 1(pentru cazuri simple).Asa este si cazul problemei puse.(Se invata cam pe la sfarsitul cl.Xll)

PhantomR · Answer 11 · 2014-04-13T21:23:48+03:00

DD wrote:
Suma (k de la 1 la n){lim(n->infinit)[arcsin((k/n)/n)]/(1/n)}.(1/n)=lim(n->infinit)Suma(k de la 1 la n)(k/n).(1/n)

Inca o data, va multumesc pentru raspuns. Nelamurirea mea este la nivelul egalitatii citate mai sus. Inteleg ce se intampla mai departe, dar nu inteleg de unde vine aceasta egalitate.

Daca notam $a_{n,k}=\frac{\arcsin \frac{\frac{k}{n}}{n}}{\frac{1}{n}}$ , ceea ce pare a fi folosit aici arata astfel: $\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n} \frac{a_{n,k}}{n}=\lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^n \frac{\lim_{p\to\infty} a_{p,k}}{n}$ . Nu stiu exact de ce se intampla asta..

EDIT: Am observat ca in postul de mai sus citasem gresit 🙁. Imi pare rau..

Inregistrare

Login

Resetare parola

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

limita

Similare

11 raspunsuri

RaspundeAnulează răspunsul

Raspunde
Anulează răspunsul