Home/ Intrebari/Q 86236
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

gunty
maestru (V)
Pe: 2014-04-12T07:42:41+03:00 In: In:

Inegalitate

*** QuickLaTeX cannot compile formula:
\[
	\begin{array}{l}
	 Daca\;x,y,z \ge 0\;cu\;x + y + z = 1,\;aratati\;ca]

*** Error message:
\begin{array} on input line 9 ended by \end{document}.
leading text: \end{document}
Improper \prevdepth.
leading text: \end{document}
Missing $ inserted.
leading text: \end{document}
Missing } inserted.
leading text: \end{document}
Missing \cr inserted.
leading text: \end{document}
Missing $ inserted.
leading text: \end{document}
You can't use `\end' in internal vertical mode.
leading text: \end{document}
\begin{array} on input line 9 ended by \end{document}.
leading text: \end{document}
Missing } inserted.
leading text: \end{document}
Emergency stop.

Multumesc anticipat!

Similare

1 raspuns

  1. PhantomR
    expert (VI)

    Inegalitatea se poate scrie \sqrt{(1-z)(1-x)}+\sqrt{(1-x)(1-y)}+\sqrt{(1-y)(1-z)}\geq x+y+z+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}.

    Vom arata ca \sqrt{(1-z)(1-x)}\geq y+\sqrt{zx} (pentru a putea face trimitere in cazul de egalitate, voi numi aceasta inegalitate „inegalitatea corespunzatoare lui y”. Prin ridicare la patrat, avem echivalent (1-z)(1-x)\geq y^2+2y\sqrt{zx}+zx \Rightarrow 1-x-z+zx\geq y^2+2y\sqrt{zx}+zx \Rightarrow 1-x-z\geq y^2+2y\sqrt{zx} \Rightarrow y\geq y^2+2y\sqrt{zx}. Pentru y=0, inegalitatea e adevarata. Pentru y>0 impartim cu y si avem 1\geq y+2\sqrt{zx} \Leftrightarrow 1-y\geq 2\sqrt{zx} \Leftrightarrow z+x\geq 2\sqrt{zx} \Leftrightarrow \frac{z+x}{2}\geq \sqrt{zx}, care e tocmai Inegalitatea mediilor. Deci inegalitatea e adevarata si avem egalitate cand z=x.

    Similar obtinem si inegalitatile analoage pentru ceilalti termeni, iar prin adunare rezulta inegalitatea ceruta.

    Pentru studiul cazului de egalitate, sa observam ca aceasta se realizeaza cand inegalitatile anterioare devin si ele egalitati, deci cand in inegalitatile corespunzatoare unei variabile, ori variabila este nula, ori celelalte doua sunt egale. Avem aici trei cazuri:
    1. Cand exact una din x,y,z este nula, sa zicem ca y. Atunci pentru egalitate in inegalitatile corespunzatoare lui x rezulta y=z, deci z=0, fals.
    2. Cand exact doua din x,y,z sunt nule, de exemplu x,y, iar aceasta asigura egalitate si in inegalitatea lui z, caci x=y. Deci acesta este un caz de egalitate. Sa observam si ca faptul ca doua variabile sunt nule implica ca cea nenula este 1, caci x+y+z=1.
    3. Cand niciuna din variabile nu este nula (toate trei nu pot fi nule, caci au suma 1), caz in care din inegalitatile corespunzatoare lui x,y,z avem y=z,x=z,x=y, adica x=y=z, iar din conditia cu suma rezulta atunci x=y=z=\frac{1}{3}.
    REZUMAT: Egaltiatea se realizeaza cand avem (x,y,z)\in\left\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),\left(\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3}\right)\right\}.

    Cu multa placere!:D

Raspunde

Raspunde